Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Жадібний алгоритм:

  1. AПеребирає всі можливі розв'язки
  2. BВикористовує лише рекурсію
  3. CНа кожному кроці робить локально найкращий вибір
  4. DЗавжди дає оптимальний розв'язок
2.Алгоритми та складністьСкладна

Для якого варіанта задачі про рюкзак жадібне правило «брати предмети в порядку цінності на одиницю ваги» завжди дає оптимальну відповідь?

  1. AДля жодного варіанта
  2. BДля неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
  3. CДля рюкзака 0/1, де предмети завжди потрібно брати цілими
  4. DДля обох варіантів
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовує виконувана програма, щоб відстежувати активні виклики функцій та їхні локальні змінні?

  1. AГеш-таблицю функцій
  2. BСтек викликів
  3. CЧергу пам'яті купи
  4. DБінарне дерево пошуку фреймів
4.Структури данихСкладна

Чому зі стандартного фільтра Блума не можна просто видаляти елементи, очищаючи їхні біти?

  1. AФільтри Блума зберігають повні елементи, і після гешування їх неможливо знайти знову
  2. BЦі біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати
  3. CБіти у фільтрі Блума не можна змінювати після створення
  4. DВидалення підвищило б частку хибнопозитивних результатів до 100%
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 4, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 32 × deg 4
L =
6.Теорія графівСкладна
109355122943ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(G) найкоротшого шляху від A до G у зваженому графі.

початок: Aкінець: G
d(G) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · На кожному кроці робить локально найкращий вибір

Чому це відповідь

Жадібні алгоритми швидкі й для деяких задач оптимальні (наприклад, алгоритм Дейкстри, кодування Гаффмана), але не загалом (наприклад, задача про видачу решти для деяких систем монет).

Відповідь

C · На кожному кроці робить локально найкращий вибір
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити

Чому це відповідь

Коли предмети можна ділити, оптимально брати спершу з найкращим відношенням; у рюкзаку 0/1 предмет із високим відношенням може заблокувати кращу комбінацію, тож потрібне динамічне програмування.

Відповідь

B · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури даних

Відповідь: B · Стек викликів

Чому це відповідь

Кожен виклик заносить у стек фрейм, а кожне повернення виймає його, тому найновіший виклик завершується першим.

Відповідь

B · Стек викликів
4.Структури даних

Відповідь: B · Ці біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати

Чому це відповідь

Очищення спільного біта зробило б інший елемент нібито відсутнім; лічильні фільтри Блума замість бітів зберігають лічильники, щоб дозволити видалення.

Відповідь

B · Ці біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати
5.Теорія графів

Відповідь: L = 9

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 17 = 2(L + 5) − 2
L = 9

Відповідь

L = 9

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(G) = 12

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 10, C: 9
C (9): G: 18
B (10): D: 15, G: 12
G (12): E: 15
D (15): F: 27
E (15)
F (27)

Найкоротший шлях

A → B → G
d(G) = 12

Відповідь

d(G) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms