Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність обчислення n-го числа Фібоначчі за допомогою таблиці знизу вгору?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка різниця між нерозв'язною задачею та практично нерозв'язною?

  1. AДля нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний
  2. BОбидва терміни означають, що задача взагалі не має алгоритму
  3. CНерозв'язні задачі належать до NP, а практично нерозв'язні — до P
  4. DПрактично нерозв'язні задачі не може розв'язати жоден алгоритм, а нерозв'язні лише потребують експоненційного часу
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовують, щоб перевірити, чи збалансовані дужки в «{[()]}»?

  1. AЧергу
  2. BГеш-таблицю
  3. CБінарне дерево пошуку
  4. DСтек
4.Структури данихСкладна

Для кожного елемента масиву потрібно знайти наступний більший елемент праворуч від нього за загальний час O(n). Яка структура допоможе?

  1. AБінарне дерево пошуку, перебудоване для кожного елемента
  2. BЧерга, що містить кожну пару елементів
  3. CГеш-таблиця всіх елементів
  4. DСтек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 3, 4 вершин степеня 4, 2 вершин степеня 5, 2 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 34 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
1137109191617ABCDEF

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 5; пропущені ребра не враховуються.

k = 5
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро DF
  8. 8ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n)

Чому це відповідь

Заповнення таблиці від 0 до n потребує одного додавання на запис, тож робота лінійна, а не експоненційна.

Відповідь

C · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Для нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний

Чому це відповідь

Проблема зупинки взагалі не має алгоритму; NP-складну задачу, як-от TSP, можна розв'язати повним перебором, просто не за відомий поліноміальний час.

Відповідь

A · Для нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний
3.Структури даних

Відповідь: D · Стек

Чому це відповідь

Кожну відкривну дужку заносять у стек (push), а коли з'являється закривна, виймають (pop); вона має відповідати вийнятій дужці, а наприкінці стек має бути порожнім.

Відповідь

D · Стек
4.Структури даних

Відповідь: D · Стек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь

Чому це відповідь

Скануючи зліва направо, вийміть зі стека кожен елемент, менший за поточний (поточний елемент — їхня відповідь), а потім занесіть поточний; кожен елемент переміщується щонайбільше двічі.

Відповідь

D · Стек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь
5.Теорія графів

Відповідь: L = 18

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 36 = 2(L + 10) − 2
L = 18

Відповідь

L = 18

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро DF

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. AB (1)
2. BC (7)
3. CE (9)
4. BD (10)
5. DF (16)

номер ребра 5

DF

Відповідь

ребро DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms