Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність швидкого сортування (quicksort) у найгіршому випадку?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що випливало б, якби хтось знайшов поліноміальний алгоритм для однієї NP-повної задачі?

  1. AПроблема зупинки стала б розв'язною
  2. BУсі алгоритми з експоненційним часом негайно стали б працювати за лінійний час
  3. CКожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
  4. DЛише ця одна задача перейшла б до P
3.Структури данихСередня

Бінарне дерево має корінь 1 з лівою дитиною 2 і правою дитиною 3; вузол 2 має дітей 4 (ліва) і 5 (права). Який прямий обхід (preorder)?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B4 2 5 1 3
  3. C1 2 4 5 3
  4. D1 2 3 4 5
4.Структури данихСкладна

Які витрати часу й додаткової пам'яті на обернення однозв'язного списку на місці?

  1. AO(n log n) часу та O(1) додаткової пам'яті
  2. BO(1) часу та O(1) додаткової пам'яті
  3. CO(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
  4. DO(n) часу та O(n) додаткової пам'яті
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
145371041058ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n²)

Чому це відповідь

За постійно невдалого вибору опорних елементів (наприклад, уже відсортовані дані й перший елемент як опорний) розбиття незбалансовані, що дає O(n²). У середньому випадку складність становить O(n log n).

Відповідь

A · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP

Чому це відповідь

Оскільки весь клас NP зводиться до будь-якої NP-повної задачі за поліноміальний час, швидкий алгоритм для однієї дає швидкий алгоритм для всіх.

Відповідь

C · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
3.Структури даних

Відповідь: C · 1 2 4 5 3

Чому це відповідь

Прямий обхід відвідує 1, потім його ліве піддерево (2, 4, 5), потім 3; інші варіанти — симетричний, зворотний обхід і обхід по рівнях.

Відповідь

C · 1 2 4 5 3
4.Структури даних

Відповідь: C · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті

Чому це відповідь

Три вказівники (попередній, поточний, наступний) дають змогу обернути кожне посилання за один прохід, не виділяючи нових вузлів.

Відповідь

C · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 20

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 14, C: 5
C (5): B: 8, E: 15
B (8): D: 15
D (15): F: 25
E (15): F: 20
F (20)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 20

Відповідь

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms