Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому динамічне програмування не дає реального пришвидшення для сортування злиттям?

  1. AДинамічне програмування працює лише на задачах про графи, а не на масивах
  2. BЙого підзадачі не перекриваються, тож нічого використати повторно
  3. CСортування злиттям не має рекурсивної структури
  4. DСортування злиттям уже має складність O(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Проблема зупинки показує, що:

  1. AКожна програма врешті-решт зупиняється
  2. BДеякі програми працюють швидше на швидших комп'ютерах, тож зупинка залежить від апаратного забезпечення
  3. CЖоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона
  4. DСлід уникати циклів
3.Структури данихСередня

Ви маєте посилання на вузол у середині списку. У якому списку його можна видалити за O(1)?

  1. AУ відсортованому масиві
  2. BВ однозв'язному списку
  3. CУ динамічному масиві
  4. DУ двозв'язному списку
4.Структури данихСкладна

Для чого використовують структуру union-find в алгоритмі Краскала для мінімального кістякового дерева?

  1. AЩоб обрати початкову вершину
  2. BЩоб відсортувати ребра за вагою
  3. CЩоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
  4. DЩоб зберігати поточну відстань кожної вершини від джерела під час пошуку
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K8? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K8
H =
6.Теорія графівСкладна
93141415915ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Його підзадачі не перекриваються, тож нічого використати повторно

Чому це відповідь

Половини в сортуванні злиттям не перетинаються, і кожну розв'язують один раз; ДП допомагає лише тоді, коли підзадачі повторюються, як у Фібоначчі.

Відповідь

B · Його підзадачі не перекриваються, тож нічого використати повторно
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Жоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона

Чому це відповідь

Тюрінг показав, що проблема зупинки нерозв'язна: припущення про існування розв'язувального алгоритму призводить до суперечності з програмою, яка робить протилежне.

Відповідь

C · Жоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона
3.Структури даних

Відповідь: D · У двозв'язному списку

Чому це відповідь

Вузол двозв'язного списку знає свого попередника, тож можна безпосередньо перев'язати prev і next; в однозв'язному списку попередника доводиться шукати.

Відповідь

D · У двозв'язному списку
4.Структури даних

Відповідь: C · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра

Чому це відповідь

Find показує, чи обидва кінці в одній компоненті; якщо ні, ребро додається, а union об'єднує компоненти.

Відповідь

C · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
5.Теорія графів

Відповідь: H = 2520

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Відповідь

H = 2520
6.Теорія графів

Відповідь: B

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 9, C: 3
2. C (3): E: 7
3. E (7): D: 22, F: 22
4. B (9): D: 10
5. D (10): F: 19
6. F (19)

раунд 4

B

Відповідь

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms