Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Як алгоритм Прима будує мінімальне кістякове дерево?

AВін видаляє найдорожче ребро, доки не залишиться циклів
BВін запускає пошук у ширину й зберігає дерево BFS
CВін вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева
DВін сортує всі ребра за вагою й додає кожне, окрім тих, що утворили б цикл у лісі

2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про вибір k-го найменшого елемента невідсортованого масиву правильне?

AВибір завжди потребує Ω(n log n), бо вимагає сортування
BQuickselect працює за O(log n) у найгіршому випадку, бо рекурсивно переходить лише в один бік від опорного елемента
CQuickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку
DВибір можливий лише за O(n²)

3.Структури данихСередня

AVL-дерева та червоно-чорні дерева гарантують:

AЩо жоден вузол не має двох дітей
BПошук за сталий час у будь-якому випадку
CЗберігання ключів у порядку вставлення
DВисоту O(log n) завдяки перебалансуванню

4.Структури данихСкладна

Чому сервер може обирати свою геш-функцію випадково з універсального сімейства?

AЩоб гарантувати, що жодні два ключі ніколи не матимуть колізії, які б ключі не надсилав зловмисник
BЩоб усунути потребу змінювати розмір таблиці
CЩоб зробити геш-таблицю відсортованою
DЩоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію

5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 32 × deg 43 × deg 5

L =

6.Теорія графівСкладна

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F

d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева

Чому це відповідь

Алгоритм Прима з чергою з пріоритетами для ребер, що перетинають розріз, працює за O(E log V) із бінарною купою.

Відповідь

C · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева

2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Quickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку

Чому це відповідь

Очікувана робота quickselect із випадковими опорними елементами — n + n/2 + n/4 + ... = O(n); вибір опорного елемента як медіани медіан робить найгірший випадок лінійним.

Відповідь

C · Quickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку

3.Структури даних

Відповідь: D · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

Чому це відповідь

Самобалансовані дерева зберігають логарифмічну висоту, тому пошук, вставлення та видалення в найгіршому випадку мають складність O(log n).

Відповідь

D · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

4.Структури даних

Відповідь: D · Щоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію

Чому це відповідь

За універсального гешування очікувана кількість колізій мала для будь-якої множини ключів, бо зловмисник не знає, яку функцію обрано.

Відповідь

D · Щоб зробити дуже малоймовірним, що зловмисник підбере багато ключів, які всі матимуть колізію

5.Теорія графів

Відповідь: L = 18

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 32 = 2(L + 8) − 2

L = 18

Відповідь

L = 18

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 14

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 8, C: 3

C (3): B: 7, E: 11

B (7): D: 21

E (11): F: 14

F (14)

D (21)

Найкоротший шлях

A → C → E → F

d(F) = 14

Відповідь

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms