Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яке твердження про рекурсивну функцію без досяжного базового випадку правильне?

  1. AВона автоматично повертає 0
  2. BВона виконується за час O(1)
  3. CВона викликає себе, доки не переповниться стек викликів
  4. DКомпілятор завжди перетворює її на цикл, що безпечно завершується
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке визначення класу P правильне?

  1. AЗадачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
  2. BЗадачі, що потребують експоненційного часу на будь-якому комп'ютері
  3. CЗадачі, розв'язки яких можна перевірити, але ніколи не можна знайти за поліноміальний час
  4. DЗадачі, які можна розв'язати паралельно
3.Структури данихСередня

Який метод розв'язання колізій зберігає ключі, що конфліктують, у списку в тому самому кошику?

  1. AМетод ланцюжків (separate chaining)
  2. BЛінійне зондування
  3. CКвадратичне зондування
  4. DПодвійне гешування
4.Структури данихСкладна

Видалення вузла з двома дітьми з бінарного дерева пошуку зазвичай виконують так:

  1. AВидаляють усе піддерево
  2. BЗамінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
  3. CМіняють його місцями з коренем
  4. DПеребудовують піддерево під ним з нуля й повторно вставляють усі ключі, які воно містило
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
291314485893ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Вона викликає себе, доки не переповниться стек викликів

Чому це відповідь

Без базового випадку рекурсія ніколи не зупиняється; на практиці пам'ять для кадрів стека вичерпується, і програма аварійно завершується.

Відповідь

C · Вона викликає себе, доки не переповниться стек викликів
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час

Чому це відповідь

P містить задачі розпізнавання з детермінованим поліноміальним алгоритмом, як-от перевірка зв'язності графа.

Відповідь

A · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: A · Метод ланцюжків (separate chaining)

Чому це відповідь

Метод ланцюжків зберігає для кожного кошика зв'язний список (або іншу структуру); відкрита адресація шукає інше вільне місце в самій таблиці.

Відповідь

A · Метод ланцюжків (separate chaining)
4.Структури даних

Відповідь: B · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол

Чому це відповідь

In-order наступник має щонайбільше одну дитину, тому його легко видалити після копіювання його ключа у вузол, що видаляється.

Відповідь

B · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Непарні вершини

A, B → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 18

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 2, C: 9
B (2): D: 16, G: 10
C (9): E: 13
G (10)
E (13): F: 18
D (16)
F (18)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 18

Відповідь

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms