Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Розв'язком рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n/2) + O(n) є:

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка різниця між нерозв'язною задачею та практично нерозв'язною?

  1. AПрактично нерозв'язні задачі не може розв'язати жоден алгоритм, а нерозв'язні лише потребують експоненційного часу
  2. BДля нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний
  3. CНерозв'язні задачі належать до NP, а практично нерозв'язні — до P
  4. DОбидва терміни означають, що задача взагалі не має алгоритму
3.Структури данихСередня

Яке значення постфіксного виразу 3 4 + 2 * ?

  1. A11
  2. B24
  3. C14
  4. D10
4.Структури данихСкладна

Дерево відрізків (segment tree) зазвичай використовують для:

  1. AВідповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)
  2. BСортування рядків за абеткою шляхом зберігання кожного префікса в окремому вузлі дерева
  3. CРеалізації стека
  4. DЗберігання ребер графа
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 9 вершин і 15 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 9|E| = 15
k =
6.Теорія графівСкладна
ABCDE

Скільки замкнених маршрутів довжиною 2 починаються й закінчуються в B? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n log n)

Чому це відповідь

За основною теоремою про рекурентні співвідношення (master theorem) при a = 2, b = 2, f(n) = n маємо T(n) = Θ(n log n).

Відповідь

A · O(n log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Для нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний

Чому це відповідь

Проблема зупинки взагалі не має алгоритму; NP-складну задачу, як-от TSP, можна розв'язати повним перебором, просто не за відомий поліноміальний час.

Відповідь

B · Для нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний
3.Структури даних

Відповідь: C · 14

Чому це відповідь

Заносимо 3 і 4, + дає 7; заносимо 2, * дає 7 × 2 = 14.

Відповідь

C · 14
4.Структури даних

Відповідь: A · Відповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)

Чому це відповідь

Дерево відрізків зберігає агрегати для проміжків, підтримуючи запити на діапазонах і точкові оновлення за час O(log n).

Відповідь

A · Відповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)
5.Теорія графів

Відповідь: k = 7

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

9 − 1 = 8

Ребра для вилучення

k = 15 − 8 = 7

Відповідь

k = 7
6.Теорія графів

Відповідь: N = 4

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Спільні сусіди

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

Відповідь

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms