Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність швидкого сортування (quicksort) у найгіршому випадку?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Сортування вставками працює за O(n) на відсортованих даних. Чи суперечить це нижній межі Ω(n log n) для сортування порівняннями?

  1. AНі, бо сортування вставками не є сортуванням порівняннями
  2. BТак, отже, нижня межа хибна
  3. CТак, але лише для масивів, коротших за 100
  4. DНі, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних
3.Структури данихСередня

Скільки вузлів має ідеальне бінарне дерево висоти h, якщо висоту рахують у ребрах?

  1. Ah2
  2. B2h
  3. C2h+1 − 1
  4. D2h + 1
4.Структури данихСкладна

Скільки триває пошук довільного ключа в бінарній мін-купі з n елементів?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(log log n)
  4. DO(n)
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 3, 4 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 34 × deg 43 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
4961281817319ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n²)

Чому це відповідь

За постійно невдалого вибору опорних елементів (наприклад, уже відсортовані дані й перший елемент як опорний) розбиття незбалансовані, що дає O(n²). У середньому випадку складність становить O(n log n).

Відповідь

C · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Ні, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних

Чому це відповідь

Межа стверджує, що кожне сортування порівняннями потребує близько n log n порівнянь на якихось вхідних даних розміру n; особливі вхідні дані можуть оброблятися значно швидше.

Відповідь

D · Ні, нижня межа стосується найгіршого випадку серед усіх вхідних даних, а не кожних вхідних даних
3.Структури даних

Відповідь: C · 2h+1 − 1

Чому це відповідь

Сума 1 + 2 + 4 + ... + 2h дає 2h+1 − 1; наприклад, висота 2 дає 7 вузлів.

Відповідь

C · 2h+1 − 1
4.Структури даних

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Купа не дає правила, яке піддерево містить ключ, тож у найгіршому випадку треба перевірити всі вузли; швидко знаходиться лише мінімум.

Відповідь

D · O(n)
5.Теорія графів

Відповідь: L = 21

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 37 = 2(L + 9) − 2
L = 21

Відповідь

L = 21

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 47

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

GB (3): взяти
AB (4): взяти
BD (6): взяти
DE (8): взяти
BC (9): взяти
CE (12): пропустити, замикає цикл
EF (17): взяти

Загальна вага

W = 3 + 4 + 6 + 8 + 9 + 17 = 47

Відповідь

W = 47

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms