Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Динамічне програмування корисне, коли задача має:

  1. AЖодних підзадач, тож її можна розв'язати за один крок
  2. BЛише випадкові вхідні дані
  3. CОдин цикл
  4. DПерекривні підзадачі та оптимальну підструктуру
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) виконати роботу O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n √n)
3.Структури данихСередня

У бінарній мін-купі, що зберігається в масиві (індексація з 0), діти вузла з індексом i розташовані на позиціях:

  1. Ai + 1 і i + 2
  2. B2i і 2i + 1
  3. Ci/2 і i/2 + 1
  4. D2i + 1 і 2i + 2
4.Структури данихСкладна

Який очікуваний час пошуку за простого рівномірного гешування в геш-таблиці з ланцюжками, n ключами та m кошиками?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1 + α), де α = n / m
  4. DO(m)
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K6? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K6
H =
6.Теорія графівСкладна
61491371072139ABCDEFG

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Перекривні підзадачі та оптимальну підструктуру

Чому це відповідь

Збереження результатів перекривних підзадач (мемоізація або табуляція) дає змогу уникнути повторної роботи й перетворює експоненційні алгоритми на поліноміальні.

Відповідь

D · Перекривні підзадачі та оптимальну підструктуру
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n log n)

Чому це відповідь

Загалом n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, а гармонічне число Hn є Θ(log n).

Відповідь

C · O(n log n)
3.Структури даних

Відповідь: D · 2i + 1 і 2i + 2

Чому це відповідь

У масивах з індексацією від 0 лівий нащадок має індекс 2i + 1, правий — 2i + 2, а батько — ⌊(i − 1)/2⌋.

Відповідь

D · 2i + 1 і 2i + 2
4.Структури даних

Відповідь: C · O(1 + α), де α = n / m

Чому це відповідь

Обчислення гешу коштує O(1), а очікувана довжина ланцюжка — α, тож обмеження α через зміну розміру таблиці дає очікуваний час O(1).

Відповідь

C · O(1 + α), де α = n / m
5.Теорія графів

Відповідь: H = 60

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Відповідь

H = 60
6.Теорія графів

Відповідь: C

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 6, C: 14
2. B (6): G: 13
3. G (13): D: 26, E: 22
4. C (14)
5. E (22): F: 32
6. D (26)
7. F (32)

раунд 4

C

Відповідь

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms