Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що вимірює амортизований аналіз?

  1. AВартість однієї найдорожчої операції будь-де в послідовності
  2. BВартість алгоритму на найкращих вхідних даних
  3. CОчікувану вартість на випадкових вхідних даних
  4. DСередню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) виконати роботу O(1)?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.Структури данихСередня

Де розташований батько вузла з індексом i в бінарній купі, що зберігається в масиві з індексацією від 0?

  1. AВ індексі 2i + 1
  2. BВ індексі i − 1
  3. CВ індексі ⌊i / 2⌋ + 1
  4. DВ індексі ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структури данихСкладна

Алгоритм Кана для топологічного сортування раз у раз видаляє вершини з напівстепенем входу 0. Яка структура зберігає ці вершини?

  1. AЧерга (або будь-яка колекція) вершин із напівстепенем входу 0
  2. BСтек усіх відвіданих ребер
  3. CМакс-купа, упорядкована за напівстепенем виходу
  4. DМатриця суміжності, що фіксує, які вершини вже видалено
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K5? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K5
H =
6.Теорія графівСкладна
ABCDE

Скільки маршрутів довжиною 3 ведуть від D до C? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Середню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку

Чому це відповідь

Амортизований аналіз розподіляє вартість рідкісних дорогих операцій на багато дешевих, даючи гарантоване середнє для будь-якої послідовності.

Відповідь

D · Середню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n log n)

Чому це відповідь

Загалом n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, а гармонічне число Hn є Θ(log n).

Відповідь

B · O(n log n)
3.Структури даних

Відповідь: D · В індексі ⌊(i − 1) / 2⌋

Чому це відповідь

Діти i розташовані в 2i + 1 і 2i + 2, тож батько i — це ⌊(i − 1) / 2⌋; за індексації від 1 це ⌊i / 2⌋.

Відповідь

D · В індексі ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структури даних

Відповідь: A · Черга (або будь-яка колекція) вершин із напівстепенем входу 0

Чому це відповідь

Готові вершини зберігаються в черзі; видалення однієї зменшує напівстепені входу її сусідів, і ті, що досягли 0, додаються, що дає час O(V + E).

Відповідь

A · Черга (або будь-яка колекція) вершин із напівстепенем входу 0
5.Теорія графів

Відповідь: H = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Відповідь

H = 12
6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Ще один крок

(M³)DC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1

Відповідь

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms