Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність швидкого сортування (quicksort) у найгіршому випадку?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що треба зробити, щоб показати, що нова задача X є NP-складною?

  1. AЗвести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час
  2. BПоказати, що X можна перевірити за поліноміальний час
  3. CПоказати, що X не має поліноміального алгоритму для малих вхідних даних
  4. DЗвести X до відомої NP-складної задачі за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Який максимально можливий коефіцієнт заповнення геш-таблиці з відкритою адресацією?

  1. A1
  2. B0,5
  3. C2
  4. DМаксимуму немає
4.Структури данихСкладна

Часова складність операції decrease-key у бінарній купі (за відомої позиції елемента) становить:

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 7 вершин і 15 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 7|E| = 15
k =
6.Теорія графівСкладна
6112210662ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n²)

Чому це відповідь

За постійно невдалого вибору опорних елементів (наприклад, уже відсортовані дані й перший елемент як опорний) розбиття незбалансовані, що дає O(n²). У середньому випадку складність становить O(n log n).

Відповідь

B · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Звести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час

Чому це відповідь

Якщо відому складну задачу можна ефективно перетворити на X, то швидкий алгоритм для X розв'язав би й відому задачу.

Відповідь

A · Звести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: A · 1

Чому це відповідь

За відкритої адресації всі ключі зберігаються в самій таблиці, тож n не може перевищити m; у методі ланцюжків коефіцієнт заповнення може бути більшим за 1.

Відповідь

A · 1
4.Структури даних

Відповідь: C · O(log n)

Чому це відповідь

Після зменшення ключа елемент піднімається щонайбільше на висоту купи. Купи Фібоначчі досягають амортизованого decrease-key за O(1).

Відповідь

C · O(log n)
5.Теорія графів

Відповідь: k = 9

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

7 − 1 = 6

Ребра для вилучення

k = 15 − 6 = 9

Відповідь

k = 9
6.Теорія графів

Відповідь: D

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 6, C: 1
2. C (1): E: 11
3. B (6): D: 8
4. D (8): F: 14
5. E (11): F: 13
6. F (13)

раунд 4

D

Відповідь

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms