Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який час виконання порозрядного сортування LSD для n цілих чисел із d цифрами в системі числення з основою k?

  1. AO(dn log k)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(d(n + k))
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність побудови бінарної купи з n невідсортованих елементів висхідним методом (bottom-up)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
3.Структури данихСередня

Що правильно щодо матриці суміжності неорієнтованого графа?

  1. AВона симетрична відносно головної діагоналі
  2. BВона завжди верхньотрикутна
  3. CЇї головна діагональ завжди містить одиниці
  4. DКожен рядок містить рівно одну 1
4.Структури данихСкладна

Яку проблему лінійного зондування переважно зменшує подвійне гешування?

  1. AВартість O(n) читання значення ключа
  2. BПервинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок
  3. CПотребу зберігати ключі в таблиці
  4. DПотребу в геш-функції
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 12 вершин і 12 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 12|E| = 12
k =
6.Теорія графівСкладна
124156162111ABCDEF

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(d(n + k))

Чому це відповідь

Кожен із d проходів — сортування підрахунком вартістю O(n + k), тож для фіксованих d і k загальна складність лінійна за n.

Відповідь

D · O(d(n + k))
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Сума витрат на просіювання вниз (sift-down) за всіма рівнями утворює збіжний ряд, тому побудова купи (heapify) виконується за лінійний час.

Відповідь

D · O(n)
3.Структури даних

Відповідь: A · Вона симетрична відносно головної діагоналі

Чому це відповідь

У неорієнтованому графі ребро {u, v} означає, що встановлено і M[u][v], і M[v][u], тож матриця дорівнює своїй транспонованій.

Відповідь

A · Вона симетрична відносно головної діагоналі
4.Структури даних

Відповідь: B · Первинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок

Чому це відповідь

Лінійне зондування крокує на 1, тож серії зайнятих комірок зростають і зливаються; подвійне гешування використовує другий геш для розміру кроку, тож різні ключі перевіряють різні послідовності.

Відповідь

B · Первинну кластеризацію, коли утворюються довгі серії зайнятих комірок
5.Теорія графів

Відповідь: k = 1

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

12 − 1 = 11

Ребра для вилучення

k = 12 − 11 = 1

Відповідь

k = 1
6.Теорія графів

Відповідь: W = 25

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

EF (1): взяти
DE (2): взяти
AC (4): взяти
BD (6): взяти
DF (11): пропустити, замикає цикл
AB (12): взяти

Загальна вага

W = 1 + 2 + 4 + 6 + 12 = 25

Відповідь

W = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms