Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність множення двох матриць n × n стандартним потрійним циклом?

AO(n)
BO(n² log n)
CO(n²)
DO(n³)

2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка амортизована вартість інкременту двійкового лічильника, якщо один інкремент може змінити багато бітів?

AO(n log n) на інкремент
BO(log n) на інкремент
CO(n) на інкремент
DO(1) на інкремент

3.Структури данихСередня

Скільки часу потрібно, щоб перевірити наявність ребра (u, v) за допомогою матриці суміжності?

AO(1)
BO(E)
CO(log V)
DO(V)

4.Структури данихСкладна

Які витрати часу й додаткової пам'яті на обернення однозв'язного списку на місці?

AO(1) часу та O(1) додаткової пам'яті
BO(n log n) часу та O(1) додаткової пам'яті
CO(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
DO(n) часу та O(n) додаткової пам'яті

5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 8 вершин і 12 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 8|E| = 12

k =

6.Теорія графівСкладна

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 6; пропущені ребра не враховуються.

k = 6

1ребро AB
2ребро AC
3ребро BC
4ребро BD
5ребро CE
6ребро DE
7ребро DF
8ребро GB
9ребро GD

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n³)

Чому це відповідь

Є n² елементів, і кожному потрібно n множень, що дає n³ операцій.

Відповідь

D · O(n³)

2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(1) на інкремент

Чому це відповідь

За n інкрементів біт i змінюється близько n / 2ⁱ разів, тож загалом менше ніж 2n змін — у середньому O(1) на кожен.

Відповідь

D · O(1) на інкремент

3.Структури даних

Відповідь: A · O(1)

Чому це відповідь

Елемент матриці в рядку u, стовпці v одразу показує, чи існує ребро; у списку суміжності може знадобитися переглянути сусідів u.

Відповідь

A · O(1)

4.Структури даних

Відповідь: C · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті

Чому це відповідь

Три вказівники (попередній, поточний, наступний) дають змогу обернути кожне посилання за один прохід, не виділяючи нових вузлів.

Відповідь

C · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті

5.Теорія графів

Відповідь: k = 5

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

8 − 1 = 7

Ребра для вилучення

k = 12 − 7 = 5

Відповідь

k = 5

6.Теорія графів

Відповідь: ребро AB

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. GD (5)

2. DE (8)

3. CE (11)

4. DF (12)

5. GB (13)

6. AB (17)

номер ребра 6

Відповідь

ребро AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms