Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Приблизно скільки порівнянь потребує бінарний пошук у найгіршому випадку на відсортованому масиві з 1,000,000 елементів?

  1. AБлизько 20
  2. BБлизько 1,000
  3. CБлизько 100
  4. DБлизько 500,000
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність побудови бінарної купи з n невідсортованих елементів висхідним методом (bottom-up)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
3.Структури данихСередня

Геш-таблиця розміру 7 використовує h(k) = k mod 7 і лінійне зондування. Після вставлення 10 де буде збережено 17?

  1. AВ індексі 0
  2. BВ індексі 3
  3. CВ індексі 4
  4. DВ індексі 6
4.Структури данихСкладна

Який час роботи пошуку в ширину (BFS) у графі з V вершинами, що зберігається як матриця суміжності?

  1. AO(V²)
  2. BO(V)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 5, 2 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 52 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
131642092143115ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Близько 20

Чому це відповідь

220 ≈ 1,048,576, тож приблизно після 20 ділень навпіл залишається лише один елемент.

Відповідь

A · Близько 20
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n)

Чому це відповідь

Сума витрат на просіювання вниз (sift-down) за всіма рівнями утворює збіжний ряд, тому побудова купи (heapify) виконується за лінійний час.

Відповідь

B · O(n)
3.Структури даних

Відповідь: C · В індексі 4

Чому це відповідь

10 mod 7 = 3 і 17 mod 7 = 3; індекс 3 зайнятий, тож лінійне зондування пробує наступну комірку — індекс 4.

Відповідь

C · В індексі 4
4.Структури даних

Відповідь: A · O(V²)

Чому це відповідь

Кожна з V вершин переглядає рядок із V елементів, що дає O(V²); зі списками суміжності BFS має складність O(V + E).

Відповідь

A · O(V²)
5.Теорія графів

Відповідь: L = 14

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

Відповідь

L = 14

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 42

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

GC (1): взяти
DF (2): взяти
GB (3): взяти
BC (4): пропустити, замикає цикл
CE (9): взяти
AB (13): взяти
EF (14): взяти

Загальна вага

W = 1 + 2 + 3 + 9 + 13 + 14 = 42

Відповідь

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms