Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Як алгоритм Прима будує мінімальне кістякове дерево?

  1. AВін вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева
  2. BВін запускає пошук у ширину й зберігає дерево BFS
  3. CВін сортує всі ребра за вагою й додає кожне, окрім тих, що утворили б цикл у лісі
  4. DВін видаляє найдорожче ребро, доки не залишиться циклів
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність побудови бінарної купи з n невідсортованих елементів висхідним методом (bottom-up)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
3.Структури данихСередня

Який метод розв'язання колізій зберігає ключі, що конфліктують, у списку в тому самому кошику?

  1. AЛінійне зондування
  2. BМетод ланцюжків (separate chaining)
  3. CКвадратичне зондування
  4. DПодвійне гешування
4.Структури данихСкладна

Для кожного елемента масиву потрібно знайти наступний більший елемент праворуч від нього за загальний час O(n). Яка структура допоможе?

  1. AСтек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь
  2. BГеш-таблиця всіх елементів
  3. CЧерга, що містить кожну пару елементів
  4. DБінарне дерево пошуку, перебудоване для кожного елемента
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K6? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K6
H =
6.Теорія графівСкладна
1131011212810111ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева

Чому це відповідь

Алгоритм Прима з чергою з пріоритетами для ребер, що перетинають розріз, працює за O(E log V) із бінарною купою.

Відповідь

A · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n)

Чому це відповідь

Сума витрат на просіювання вниз (sift-down) за всіма рівнями утворює збіжний ряд, тому побудова купи (heapify) виконується за лінійний час.

Відповідь

B · O(n)
3.Структури даних

Відповідь: B · Метод ланцюжків (separate chaining)

Чому це відповідь

Метод ланцюжків зберігає для кожного кошика зв'язний список (або іншу структуру); відкрита адресація шукає інше вільне місце в самій таблиці.

Відповідь

B · Метод ланцюжків (separate chaining)
4.Структури даних

Відповідь: A · Стек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь

Чому це відповідь

Скануючи зліва направо, вийміть зі стека кожен елемент, менший за поточний (поточний елемент — їхня відповідь), а потім занесіть поточний; кожен елемент переміщується щонайбільше двічі.

Відповідь

A · Стек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь
5.Теорія графів

Відповідь: H = 60

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Відповідь

H = 60
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 28

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 11, C: 3
C (3): E: 14, G: 13
B (11)
G (13): D: 24
E (14): D: 16
D (16): F: 28
F (28)

Найкоротший шлях

A → C → E → D → F
d(F) = 28

Відповідь

d(F) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms