Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який алгоритм знаходить найкоротші шляхи з одного джерела в графі з невід'ємними вагами ребер?

  1. AПошук у глибину (DFS)
  2. BУ всіх випадках потрібен алгоритм Беллмана–Форда
  3. CАлгоритм Краскала
  4. DАлгоритм Дейкстри
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність побудови бінарної купи з n невідсортованих елементів висхідним методом (bottom-up)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті використовує список суміжності для графа з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(V²)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V × E)
  4. DO(E²)
4.Структури данихСкладна

Вузол AVL-дерева незбалансований, бо праве піддерево його лівої дитини стало надто високим (випадок «ліво-право»). Яке виправлення застосовують?

  1. AОдинарний лівий поворот у вузлі
  2. BОдинарний правий поворот у вузлі
  3. CЛівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі
  4. DПравий поворот у лівій дитині, потім лівий поворот у вузлі
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K7? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K7
H =
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки замкнених маршрутів довжиною 3 починаються й закінчуються в F? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Алгоритм Дейкстри

Чому це відповідь

Алгоритм Дейкстри працює з невід'ємними вагами; алгоритм Беллмана–Форда допускає від'ємні ваги; алгоритм Краскала будує мінімальні кістякові дерева.

Відповідь

D · Алгоритм Дейкстри
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n)

Чому це відповідь

Сума витрат на просіювання вниз (sift-down) за всіма рівнями утворює збіжний ряд, тому побудова купи (heapify) виконується за лінійний час.

Відповідь

C · O(n)
3.Структури даних

Відповідь: B · O(V + E)

Чому це відповідь

Кожна вершина має список, а кожне ребро трапляється один раз (орієнтований граф) або двічі (неорієнтований), що дає O(V + E).

Відповідь

B · O(V + E)
4.Структури даних

Відповідь: C · Лівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі

Чому це відповідь

Перший поворот перетворює випадок «ліво-право» на випадок «ліво-ліво», який потім виправляє правий поворот у незбалансованому вузлі.

Відповідь

C · Лівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі
5.Теорія графів

Відповідь: H = 360

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Відповідь

H = 360
6.Теорія графів

Відповідь: N = 2

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Ще один крок

(M³)FF = 0·0 + 1·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 2·0 = 2

Відповідь

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms