Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Маючи монети номіналом 1, 3 і 4 та суму 6, скільки монет використовує жадібний метод «спершу найбільша монета» порівняно з оптимумом?

  1. AЖадібний використовує 2 монети; оптимум — 2
  2. BЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
  3. CЖадібний використовує 4 монети; оптимум — 3
  4. DЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 3
2.Алгоритми та складністьСкладна

Алгоритм Штрассена множить матриці, використовуючи 7 замість 8 рекурсивних множень блоків половинного розміру. Який його час виконання?

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(nlog₂ 7), близько n2,81
  4. DΘ(n2)
3.Структури данихСередня

Скільки часу потрібно, щоб перевірити наявність ребра (u, v) за допомогою матриці суміжності?

  1. AO(E)
  2. BO(log V)
  3. CO(1)
  4. DO(V)
4.Структури данихСкладна

Яка пара обходів завжди однозначно визначає бінарне дерево з різними ключами?

  1. AПрямий і симетричний обходи
  2. BЛише обхід по рівнях
  3. CПрямий і зворотний обходи
  4. DЛише прямий обхід
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 19 вершин і 26 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 19|E| = 26
k =
6.Теорія графівСкладна
415106712353ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2

Чому це відповідь

Жадібний метод бере 4 + 1 + 1 = 3 монети, але 3 + 3 — лише 2, тож для цієї системи монет жадібний метод не оптимальний; оптимальне динамічне програмування.

Відповідь

B · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Θ(nlog₂ 7), близько n2,81

Чому це відповідь

За a = 7 і b = 2 nlog₂ 7 домінує над роботою додавання O(n²), що дає близько n2,81.

Відповідь

C · Θ(nlog₂ 7), близько n2,81
3.Структури даних

Відповідь: C · O(1)

Чому це відповідь

Елемент матриці в рядку u, стовпці v одразу показує, чи існує ребро; у списку суміжності може знадобитися переглянути сусідів u.

Відповідь

C · O(1)
4.Структури даних

Відповідь: A · Прямий і симетричний обходи

Чому це відповідь

Прямий обхід дає корінь, а його позиція в симетричній послідовності розділяє ліве й праве піддерева; прямий обхід разом зі зворотним неоднозначний, коли вузол має одну дитину.

Відповідь

A · Прямий і симетричний обходи
5.Теорія графів

Відповідь: k = 8

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

19 − 1 = 18

Ребра для вилучення

k = 26 − 18 = 8

Відповідь

k = 8
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 12

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 4, C: 15
B (4): C: 14, D: 10, E: 7
E (7): F: 12
D (10)
F (12)
C (14)

Найкоротший шлях

A → B → E → F
d(F) = 12

Відповідь

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms