Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Пошук у ширину в незваженому графі знаходить:

  1. AТопологічний порядок у будь-якому графі
  2. BНайкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
  3. CНайкоротші шляхи в графах, що містять ребра з від'ємними вагами
  4. DМінімальне кістякове дерево
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чи належить 22n до O(2ⁿ)?

  1. AТак, бо сталі множники в показнику степеня в нотації «велике O» завжди ігноруються
  2. BТак, бо обидві функції експоненційні
  3. CНі, бо 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ зростає необмежено
  4. DНі, бо 22n зростає повільніше, ніж 2ⁿ
3.Структури данихСередня

Що відбувається, коли геш-таблиця виконує повторне гешування (rehash) після того, як коефіцієнт заповнення перевищив поріг?

  1. AВиділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову
  2. BНайстаріші ключі видаляються, щоб звільнити місце
  3. CНаявні ключі сортуються на місці
  4. DЛише ключі з колізіями переміщуються в новий список переповнення в кінці таблиці
4.Структури данихСкладна

Структура union-find (система неперетинних множин) з об'єднанням за рангом і стисненням шляху має амортизовану вартість операції:

  1. AO(n)
  2. BO(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала
  3. CРівно O(log n)
  4. DO(n²)
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 9
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
12642141555ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини

Чому це відповідь

BFS відвідує вершини в порядку відстані (у ребрах) від джерела, тому знаходить найкоротші шляхи в незваженому графі за O(V + E).

Відповідь

B · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Ні, бо 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ зростає необмежено

Чому це відповідь

Стала, додана до показника, дає сталий множник, але стала, що множить показник, змінює основу й швидкість зростання.

Відповідь

C · Ні, бо 22n = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ зростає необмежено
3.Структури даних

Відповідь: A · Виділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову

Чому це відповідь

Оскільки індекс обчислюється за модулем розміру таблиці, усі ключі треба повторно гешувати в нову, більшу таблицю; за подвоєння розміру це залишається O(1) амортизовано.

Відповідь

A · Виділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову
4.Структури даних

Відповідь: B · O(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала

Чому це відповідь

З обома оптимізаціями операції виконуються за амортизований час O(α(n)); α(n) ≤ 4 для будь-якого реалістичного n.

Відповідь

B · O(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Непарні вершини

C, D → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 20

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 12, C: 6
C (6): B: 10, E: 20
B (10): D: 12, E: 15
D (12): F: 27
E (15): F: 20
F (20)

Найкоротший шлях

A → C → B → E → F
d(F) = 20

Відповідь

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms