Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому будь-який пошук порівняннями у відсортованому масиві потребує Ω(log n) порівнянь у найгіршому випадку?

  1. AБінарний пошук — єдиний можливий алгоритм, і йому потрібно log₂ n порівнянь
  2. BДерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n
  3. CКожне порівняння триває логарифмічний час
  4. DКожен елемент треба порівняти щонайменше один раз
3.Структури данихСередня

Як знайти мінімальний ключ у бінарному дереві пошуку?

  1. AІти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
  2. BВідвідати кожен листок і порівняти їх
  3. CПодивитися лише на корінь
  4. DІти від кореня правими дітьми, доки правої дитини не буде
4.Структури данихСкладна

Які операції підтримує дерево Фенвіка (binary indexed tree) над масивом із n чисел за O(log n)?

  1. AЗнаходження медіани за O(1)
  2. BВставлення елементів у будь-яку позицію
  3. CСортування масиву та бінарний пошук
  4. DЗапити префіксних сум і оновлення окремих елементів
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 12 вершин і 22 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 12|E| = 22
k =
6.Теорія графівСкладна
1816811321720ABCDEF

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини E. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4.

початок: Ek = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро DF
  8. 8ребро EF
  9. 9ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Є n рівнів зі сталою роботою на кожному, як у рекурсивному обчисленні суми масиву.

Відповідь

D · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Дерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n

Чому це відповідь

Кожне порівняння щонайбільше вдвічі зменшує множину можливостей, що залишилися, тож для розрізнення n позицій потрібно щонайменше log₂ n порівнянь.

Відповідь

B · Дерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n
3.Структури даних

Відповідь: A · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде

Чому це відповідь

Крайній лівий вузол не має меншого ключа в дереві, тож він і є мінімумом; вартість пропорційна висоті.

Відповідь

A · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
4.Структури даних

Відповідь: D · Запити префіксних сум і оновлення окремих елементів

Чому це відповідь

Дерево Фенвіка зберігає часткові суми на діапазонах, визначених молодшими бітами кожного індексу, тож і префіксні суми, і точкові оновлення займають O(log n).

Відповідь

D · Запити префіксних сум і оновлення окремих елементів
5.Теорія графів

Відповідь: k = 11

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

12 − 1 = 11

Ребра для вилучення

k = 22 − 11 = 11

Відповідь

k = 11
6.Теорія графів

Відповідь: ребро BC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. DE (2)
2. DF (1)
3. CE (3)
4. BC (8)
5. AC (16)

номер ребра 4

BC

Відповідь

ребро BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms