Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що означає, що задача має оптимальну підструктуру?

  1. AУсі підзадачі мають однаковий розмір
  2. BЗадачу можна розв'язати за сталий час
  3. CЗадача має рівно один оптимальний розв'язок, спільний для кожної підзадачі
  4. DОптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка амортизована вартість інкременту двійкового лічильника, якщо один інкремент може змінити багато бітів?

  1. AO(log n) на інкремент
  2. BO(n) на інкремент
  3. CO(1) на інкремент
  4. DO(n log n) на інкремент
3.Структури данихСередня

Яке значення постфіксного виразу 3 4 + 2 * ?

  1. A11
  2. B14
  3. C24
  4. D10
4.Структури данихСкладна

Ключі 5, 3, 8, 1 вставляють у такому порядку в порожню бінарну мін-купу на основі масиву. Який остаточний масив?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 5, 8, 3]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, 4 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 34 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
13714151376ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач

Чому це відповідь

Оптимальна підструктура потрібна, щоб і жадібні алгоритми, і динамічне програмування давали правильні відповіді.

Відповідь

D · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(1) на інкремент

Чому це відповідь

За n інкрементів біт i змінюється близько n / 2ⁱ разів, тож загалом менше ніж 2n змін — у середньому O(1) на кожен.

Відповідь

C · O(1) на інкремент
3.Структури даних

Відповідь: B · 14

Чому це відповідь

Заносимо 3 і 4, + дає 7; заносимо 2, * дає 7 × 2 = 14.

Відповідь

B · 14
4.Структури даних

Відповідь: D · [1, 3, 8, 5]

Чому це відповідь

Після 5, 3, 8 масив — [3, 5, 8]; 1 потрапляє в індекс 3, обмінюється з батьком 5, а потім із 3, що дає [1, 3, 8, 5].

Відповідь

D · [1, 3, 8, 5]
5.Теорія графів

Відповідь: L = 17

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 29 = 2(L + 7) − 2
L = 17

Відповідь

L = 17

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 21

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 13, C: 7
C (7): B: 8
B (8): D: 12, E: 14
D (12): F: 25
E (14): F: 21
F (21)

Найкоротший шлях

A → C → B → E → F
d(F) = 21

Відповідь

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms