Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність обчислення n-го числа Фібоначчі за допомогою таблиці знизу вгору?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Які часові та просторові витрати обчислення n-го числа Фібоначчі циклом, що зберігає лише два останні значення?

  1. AO(log n) часу та O(n) пам'яті
  2. BO(2ⁿ) часу та O(1) пам'яті
  3. CO(n) часу та O(1) пам'яті
  4. DO(n) часу та O(n) пам'яті
3.Структури данихСередня

Який абстрактний тип даних використовує алгоритм Дейкстри, щоб обрати наступну вершину для обробки?

  1. AСтек
  2. BМножину без упорядкування
  3. CЧергу FIFO
  4. DМін-чергу з пріоритетом
4.Структури данихСкладна

Для чого використовують структуру union-find в алгоритмі Краскала для мінімального кістякового дерева?

  1. AЩоб відсортувати ребра за вагою
  2. BЩоб обрати початкову вершину
  3. CЩоб зберігати поточну відстань кожної вершини від джерела під час пошуку
  4. DЩоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
16193720132ABCDE

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини E. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 3.

початок: Ek = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Заповнення таблиці від 0 до n потребує одного додавання на запис, тож робота лінійна, а не експоненційна.

Відповідь

D · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n) часу та O(1) пам'яті

Чому це відповідь

Кожному крокові потрібні лише два попередні значення, тож таблицю методу «знизу вгору» можна замінити двома змінними.

Відповідь

C · O(n) часу та O(1) пам'яті
3.Структури даних

Відповідь: D · Мін-чергу з пріоритетом

Чому це відповідь

Мін-черга з пріоритетом, зазвичай бінарна купа, ефективно повертає невідвідану вершину з найменшою відстанню.

Відповідь

D · Мін-чергу з пріоритетом
4.Структури даних

Відповідь: D · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра

Чому це відповідь

Find показує, чи обидва кінці в одній компоненті; якщо ні, ребро додається, а union об'єднує компоненти.

Відповідь

D · Щоб перевірити, чи вже з'єднані два кінці ребра
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Непарні вершини

A, C, D, E → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: ребро BD

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. BE (2)
2. BC (3)
3. BD (7)
4. AB (16)

номер ребра 3

BD

Відповідь

ребро BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms