Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чи правильно казати, що алгоритм O(n²) є також O(n³)?

  1. AНі, бо для великих n n³ менше за n²
  2. BНі, бо «велике O» завжди має вказувати точну швидкість зростання функції
  3. CТак, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
  4. DТак, але лише якщо n менше за 100
2.Алгоритми та складністьСкладна

За основною теоремою (master theorem) розв'язком T(n) = 8T(n/2) + O(n²) є:

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n² log n)
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовує пошук у глибину (DFS, ітеративна версія)?

  1. AСтек
  2. BЛише геш-таблиця
  3. CКупа
  4. DЧерга
4.Структури данихСкладна

Який час роботи пошуку в ширину (BFS) у графі з V вершинами, що зберігається як матриця суміжності?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V)
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K5? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K5
H =
6.Теорія графівСкладна
3651310911121ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³

Чому це відповідь

«Велике O» — верхня межа, тож твердження правильне, але не точне; Θ(n²) задає точну швидкість зростання.

Відповідь

C · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Θ(n³)

Чому це відповідь

log₂ 8 = 3, а n² зростає повільніше за n³, тому домінують листки: Θ(n³).

Відповідь

B · Θ(n³)
3.Структури даних

Відповідь: A · Стек

Чому це відповідь

DFS заглиблюється якомога далі, природно використовуючи стек (або стек викликів рекурсії); BFS використовує чергу.

Відповідь

A · Стек
4.Структури даних

Відповідь: B · O(V²)

Чому це відповідь

Кожна з V вершин переглядає рядок із V елементів, що дає O(V²); зі списками суміжності BFS має складність O(V + E).

Відповідь

B · O(V²)
5.Теорія графів

Відповідь: H = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Відповідь

H = 12
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 13

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 3, C: 6
B (3): D: 4, G: 14
D (4): E: 14, F: 13
C (6): E: 9
E (9): G: 10
G (10)
F (13)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 13

Відповідь

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms