Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Швидке сортування завжди бере опорним перший елемент. На яких вхідних даних воно демонструє поведінку найгіршого випадку?

  1. AНа вже відсортованому масиві
  2. BНа масиві у випадковому порядку
  3. CНа масиві, всі елементи якого різні
  4. DНа масиві довжини 2
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n log² n)
3.Структури данихСередня

Яка висота бінарного дерева пошуку з n вузлами в найгіршому випадку, якщо ключі вставляються у відсортованому порядку?

  1. A1
  2. Blog₂ n
  3. Cn (дерево перетворюється на зв'язний список)
  4. D√n
4.Структури данихСкладна

Чому в геш-таблиці з відкритою адресацією видалення часто виконують за допомогою позначки «надгробок» (tombstone)?

  1. AЗвільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
  2. BВидалені ключі треба зберігати назавжди з міркувань безпеки, тож комірки ніколи не можна використати повторно
  3. CНадгробки пришвидшують гешування
  4. DЦе робить таблицю відсортованою
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 16 вершин і 18 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 16|E| = 18
k =
6.Теорія графівСкладна
9101511561254ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · На вже відсортованому масиві

Чому це відповідь

На відсортованих даних опорний елемент завжди мінімальний, тож одна частина порожня, а інша має n − 1 елементів, що дає O(n²).

Відповідь

A · На вже відсортованому масиві
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Θ(n log² n)

Чому це відповідь

Рівень k виконує близько n log(n / 2ᵏ) роботи, а підсумовування за log n рівнями дає Θ(n log² n) — розширений другий випадок основної теореми.

Відповідь

D · Θ(n log² n)
3.Структури даних

Відповідь: C · n (дерево перетворюється на зв'язний список)

Чому це відповідь

Вставлення відсортованих ключів створює вироджене дерево висотою n, тому пошук стає O(n). Збалансовані дерева цьому запобігають.

Відповідь

C · n (дерево перетворюється на зв'язний список)
4.Структури даних

Відповідь: A · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів

Чому це відповідь

Якби видалена комірка стала порожньою, подальші пошуки могли б зупинитися зарано й пропустити ключі, розміщені далі в ланцюжку зондування.

Відповідь

A · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
5.Теорія графів

Відповідь: k = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

16 − 1 = 15

Ребра для вилучення

k = 18 − 15 = 3

Відповідь

k = 3
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 24

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 9, C: 10
B (9): D: 24, G: 14
C (10): E: 21
G (14): D: 18
D (18): F: 24
E (21)
F (24)

Найкоротший шлях

A → B → G → D → F
d(F) = 24

Відповідь

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms