Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AОснова має значення лише для малих n
  2. BУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
  3. CЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  4. DЛогарифми завжди округлюють до цілих
2.Алгоритми та складністьСкладна

Топологічне сортування можливе лише для:

  1. AОрієнтованих ациклічних графів
  2. BГрафів із від'ємними вагами
  3. CНеорієнтованих графів
  4. DПовних графів
3.Структури данихСередня

Яку умову збалансованості AVL-дерево підтримує в кожному вузлі?

  1. AУсі листки розташовані рівно на однаковій глибині
  2. BКожен вузол пофарбовано в червоний або чорний колір
  3. CОбидва піддерева кожного вузла містять рівно однакову кількість вузлів
  4. DВисоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1
4.Структури данихСкладна

Яка структура даних забезпечує кеш LRU (least recently used) з операціями get і put за O(1)?

  1. AГеш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком
  2. BЛише стек
  3. CЛише бінарне дерево пошуку
  4. DОдин відсортований масив
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K7? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K7
H =
6.Теорія графівСкладна
125112101317ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

C · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Орієнтованих ациклічних графів

Чому це відповідь

Топологічний порядок існує тоді й лише тоді, коли орієнтований граф не має циклів; його можна знайти за O(V + E) за допомогою DFS або алгоритму Кана.

Відповідь

A · Орієнтованих ациклічних графів
3.Структури даних

Відповідь: D · Висоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1

Чому це відповідь

Коефіцієнт збалансованості (висота лівого − висота правого) має дорівнювати −1, 0 або 1; повороти відновлюють його після вставлень і видалень.

Відповідь

D · Висоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1
4.Структури даних

Відповідь: A · Геш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком

Чому це відповідь

Геш-мапа знаходить вузли за O(1), а двозв'язний список переміщує використані елементи на початок і видаляє з кінця за O(1).

Відповідь

A · Геш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком
5.Теорія графів

Відповідь: H = 360

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Відповідь

H = 360
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 14

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 12, C: 5
C (5): B: 6, E: 15
B (6): D: 18, E: 13
E (13): F: 14
F (14)
D (18)

Найкоротший шлях

A → C → B → E → F
d(F) = 14

Відповідь

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms