Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність: for i = 1 to n: for j = 1 to i: виконати роботу O(1)?

AO(n log n)
BO(n)
CO(n³)
DO(n²)

2.Алгоритми та складністьСкладна

Алгоритм Штрассена множить матриці, використовуючи 7 замість 8 рекурсивних множень блоків половинного розміру. Який його час виконання?

AΘ(n³)
BΘ(n²)
CΘ(n^{log₂ 7}), близько n^2,81
DΘ(n² log n)

3.Структури данихСередня

Яка висота бінарного дерева пошуку з n вузлами в найгіршому випадку, якщо ключі вставляються у відсортованому порядку?

A√n
Blog₂ n
C1
Dn (дерево перетворюється на зв'язний список)

4.Структури данихСкладна

Яку гарантію щодо висоти дерева з n ключами дають правила червоно-чорного дерева?

AВисота щонайбільше n / 2
BВисота щонайбільше 2 log₂(n + 1)
CВисота рівно log₂ n
DВисота щонайбільше log₂ n + 1

5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K₆? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K₆

H =

6.Теорія графівСкладна

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 5|E| = 7

W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n²)

Чому це відповідь

Тіло внутрішнього циклу виконується загалом n(n + 1) / 2 разів, що все одно квадратично.

Відповідь

D · O(n²)

2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Θ(n^{log₂ 7}), близько n^2,81

Чому це відповідь

За a = 7 і b = 2 n^{log₂ 7} домінує над роботою додавання O(n²), що дає близько n^2,81.

Відповідь

C · Θ(n^{log₂ 7}), близько n^2,81

3.Структури даних

Відповідь: D · n (дерево перетворюється на зв'язний список)

Чому це відповідь

Вставлення відсортованих ключів створює вироджене дерево висотою n, тому пошук стає O(n). Збалансовані дерева цьому запобігають.

Відповідь

D · n (дерево перетворюється на зв'язний список)

4.Структури даних

Відповідь: B · Висота щонайбільше 2 log₂(n + 1)

Чому це відповідь

Кожен шлях має однакову кількість чорних вузлів, а червоні вузли не можуть бути сусідніми, тож найдовший шлях щонайбільше вдвічі довший за найкоротший, що дає висоту O(log n).

Відповідь

B · Висота щонайбільше 2 log₂(n + 1)

5.Теорія графів

Відповідь: H = 60

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Відповідь

H = 60

6.Теорія графів

Відповідь: W = 31

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

BD (3): взяти

BE (5): взяти

AC (9): взяти

DE (13): пропустити, замикає цикл

BC (14): взяти

Загальна вага

W = 3 + 5 + 9 + 14 = 31

Відповідь

W = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms