Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яке жадібне правило в задачі про вибір заявок (activity selection) завжди дає максимальну кількість заявок, що не перекриваються?

  1. AОбрати заявку, що закінчується найраніше, а потім повторити із сумісними
  2. BОбрати заявку, що починається найраніше
  3. CСпершу обрати заявку з найменшою кількістю перекриттів, а потім повторити із сумісними
  4. DСпершу обрати найкоротшу заявку
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка оцінка для log(n!) правильна?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n)
3.Структури данихСередня

Як працює extract-min у бінарній мін-купі?

  1. AШукають новий мінімум серед усіх листків
  2. BВидаляють останній елемент масиву
  3. CОстанній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
  4. DВидаляють корінь і зсувають усі елементи на одну позицію ліворуч
4.Структури данихСкладна

Яка структура дає змогу обчислити максимум кожного вікна розміру k у масиві за загальний час O(n)?

  1. AМін-купа, перебудована для кожного вікна
  2. BВідсортований масив, що оновлюється зсувом
  3. CОднозв'язний список елементів вікна
  4. DДек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 9 вершин і 20 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 9|E| = 20
k =
6.Теорія графівСкладна
ABCDE

Скільки маршрутів довжиною 2 ведуть від D до B? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Обрати заявку, що закінчується найраніше, а потім повторити із сумісними

Чому це відповідь

Оптимальність вибору за найранішим часом завершення можна довести аргументом обміну; для інших правил існують контрприклади.

Відповідь

A · Обрати заявку, що закінчується найраніше, а потім повторити із сумісними
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Θ(n log n)

Чому це відповідь

log(n!) ≤ n log n, а n / 2 найбільших множників дають log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); саме тому сортування порівняннями потребує Ω(n log n).

Відповідь

B · Θ(n log n)
3.Структури даних

Відповідь: C · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз

Чому це відповідь

Останній елемент заповнює порожнє місце в корені й обмінюється з меншою дитиною, доки не виконується властивість купи, що займає O(log n).

Відповідь

C · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
4.Структури даних

Відповідь: D · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень

Чому це відповідь

Початок дека завжди є максимумом вікна; кожен індекс входить у дек і виходить із нього один раз, тож обсяг роботи лінійний.

Відповідь

D · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
5.Теорія графів

Відповідь: k = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

9 − 1 = 8

Ребра для вилучення

k = 20 − 8 = 12

Відповідь

k = 12
6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Спільні сусіди

(M²)DB = 0·1 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 = 1

Відповідь

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms