Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  2. BЛогарифми завжди округлюють до цілих
  3. CОснова має значення лише для малих n
  4. DУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка оцінка для log(n!) правильна?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(log n)
3.Структури данихСередня

Яку умову збалансованості AVL-дерево підтримує в кожному вузлі?

  1. AОбидва піддерева кожного вузла містять рівно однакову кількість вузлів
  2. BУсі листки розташовані рівно на однаковій глибині
  3. CВисоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1
  4. DКожен вузол пофарбовано в червоний або чорний колір
4.Структури данихСкладна

Яке твердження про пірамідальне сортування (heapsort) правильне?

  1. AВоно потребує бінарного дерева пошуку як додаткового сховища, тож використовує O(n) додаткової пам'яті
  2. BВоно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним
  3. CВоно стабільне й потребує O(n) додаткової пам'яті
  4. DВоно працює за час O(n) на будь-яких вхідних даних
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 12 вершин і 17 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 12|E| = 17
k =
6.Теорія графівСкладна
ABCDE

Скільки замкнених маршрутів довжиною 3 починаються й закінчуються в E? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

A · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Θ(n log n)

Чому це відповідь

log(n!) ≤ n log n, а n / 2 найбільших множників дають log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); саме тому сортування порівняннями потребує Ω(n log n).

Відповідь

A · Θ(n log n)
3.Структури даних

Відповідь: C · Висоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1

Чому це відповідь

Коефіцієнт збалансованості (висота лівого − висота правого) має дорівнювати −1, 0 або 1; повороти відновлюють його після вставлень і видалень.

Відповідь

C · Висоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1
4.Структури даних

Відповідь: B · Воно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним

Чому це відповідь

Heapsort будує макс-купу й n разів видобуває максимум у тому самому масиві; обміни на великі відстані можуть змінювати порядок однакових ключів.

Відповідь

B · Воно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним
5.Теорія графів

Відповідь: k = 6

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

12 − 1 = 11

Ребра для вилучення

k = 17 − 11 = 6

Відповідь

k = 6
6.Теорія графів

Відповідь: N = 2

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

Ще один крок

(M³)EE = 1·0 + 1·1 + 1·0 + 1·1 + 2·0 = 2

Відповідь

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms