Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AЛогарифми завжди округлюють до цілих
  2. BЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  3. CУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
  4. DОснова має значення лише для малих n
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка з цих задач виконуваності, як відомо, розв'язна за поліноміальний час?

  1. A3-SAT, де кожен диз'юнкт має рівно три літерали
  2. B2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали
  3. CВиконуваність схем
  4. DЗагальна SAT для формул у кон'юнктивній нормальній формі
3.Структури данихСередня

Як знайти мінімальний ключ у бінарному дереві пошуку?

  1. AВідвідати кожен листок і порівняти їх
  2. BІти від кореня правими дітьми, доки правої дитини не буде
  3. CІти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
  4. DПодивитися лише на корінь
4.Структури данихСкладна

Якого правила мають дотримуватися геш і рівність, щоб геш-таблиця працювала правильно?

  1. AРівні ключі мусять мати рівні геш-значення
  2. BГеш-значення мусять бути простими числами
  3. CРізні ключі мусять мати різні геш-значення
  4. DРівні геш-значення означають рівні ключі
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 5, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
618208913171025ABCDEFG

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 6; пропущені ребра не враховуються.

k = 6
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро GB
  8. 8ребро GC
  9. 9ребро GD
  10. 10ребро GE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

B · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · 2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали

Чому це відповідь

2-SAT належить до P (лінійний час через компоненти сильної зв'язності), тоді як 3-SAT є NP-повною.

Відповідь

B · 2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали
3.Структури даних

Відповідь: C · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде

Чому це відповідь

Крайній лівий вузол не має меншого ключа в дереві, тож він і є мінімумом; вартість пропорційна висоті.

Відповідь

C · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
4.Структури даних

Відповідь: A · Рівні ключі мусять мати рівні геш-значення

Чому це відповідь

Якби два рівні ключі мали різні геші, вони зберігалися б у різних кошиках і пошук не вдавався б; нерівні ключі можуть мати спільний геш.

Відповідь

A · Рівні ключі мусять мати рівні геш-значення
5.Теорія графів

Відповідь: L = 11

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 21 = 2(L + 6) − 2
L = 11

Відповідь

L = 11

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро GB

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. GD (2)
2. GE (5)
3. AB (6)
4. CE (8)
5. DF (13)
6. GB (17)

номер ребра 6

GB

Відповідь

ребро GB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms