Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Часова складність наївного рекурсивного обчислення чисел Фібоначчі (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) є:

  1. AСталою
  2. BЛогарифмічною
  3. CЕкспоненційною
  4. DЛінійною
2.Алгоритми та складністьСкладна

Для якого варіанта задачі про рюкзак жадібне правило «брати предмети в порядку цінності на одиницю ваги» завжди дає оптимальну відповідь?

  1. AДля рюкзака 0/1, де предмети завжди потрібно брати цілими
  2. BДля жодного варіанта
  3. CДля неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
  4. DДля обох варіантів
3.Структури данихСередня

Префіксне дерево (trie) особливо ефективне для:

  1. AПошуку за префіксом, наприклад автодоповнення
  2. BЗберігання матриць
  3. CПошуку найкоротших шляхів
  4. DСортування чисел
4.Структури данихСкладна

Яке твердження про пірамідальне сортування (heapsort) правильне?

  1. AВоно працює за час O(n) на будь-яких вхідних даних
  2. BВоно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним
  3. CВоно стабільне й потребує O(n) додаткової пам'яті
  4. DВоно потребує бінарного дерева пошуку як додаткового сховища, тож використовує O(n) додаткової пам'яті
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
1817612101415516ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Експоненційною

Чому це відповідь

Дерево викликів зростає приблизно як φⁿ (близько 1,618ⁿ). Мемоізація зменшує складність до O(n).

Відповідь

C · Експоненційною
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити

Чому це відповідь

Коли предмети можна ділити, оптимально брати спершу з найкращим відношенням; у рюкзаку 0/1 предмет із високим відношенням може заблокувати кращу комбінацію, тож потрібне динамічне програмування.

Відповідь

C · Для неперервного (дробового) рюкзака, де предмети можна ділити
3.Структури даних

Відповідь: A · Пошуку за префіксом, наприклад автодоповнення

Чому це відповідь

Trie зберігає рядки посимвольно вздовж шляхів, тому пошук і запити за префіксом займають час, пропорційний довжині ключа.

Відповідь

A · Пошуку за префіксом, наприклад автодоповнення
4.Структури даних

Відповідь: B · Воно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним

Чому це відповідь

Heapsort будує макс-купу й n разів видобуває максимум у тому самому масиві; обміни на великі відстані можуть змінювати порядок однакових ключів.

Відповідь

B · Воно сортує на місці за час O(n log n) у найгіршому випадку, але не є стабільним
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Непарні вершини

A, B, C, D, E, F → 6
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: W = 65

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

GC (5): взяти
BC (6): взяти
CE (10): взяти
BD (12): взяти
DE (14): пропустити, замикає цикл
DF (15): взяти
GD (16): пропустити, замикає цикл
AC (17): взяти

Загальна вага

W = 5 + 6 + 10 + 12 + 15 + 17 = 65

Відповідь

W = 65

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms