Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Маючи монети номіналом 1, 3 і 4 та суму 6, скільки монет використовує жадібний метод «спершу найбільша монета» порівняно з оптимумом?

  1. AЖадібний використовує 4 монети; оптимум — 3
  2. BЖадібний використовує 2 монети; оптимум — 2
  3. CЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 3
  4. DЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
2.Алгоритми та складністьСкладна

Найкоротші прості шляхи можна знайти за поліноміальний час. Що відомо про пошук найдовшого простого шляху між двома вершинами в загальному графі?

  1. AВона нерозв'язна
  2. BЦе NP-складна задача
  3. CЇї завжди можна розв'язати за O(V + E)
  4. DЇї можна розв'язати алгоритмом Дейкстри з від'ємними вагами
3.Структури данихСередня

Скільки часу потрібно, щоб перевірити наявність ребра (u, v) за допомогою матриці суміжності?

  1. AO(log V)
  2. BO(V)
  3. CO(E)
  4. DO(1)
4.Структури данихСкладна

Які витрати часу й додаткової пам'яті на обернення однозв'язного списку на місці?

  1. AO(n log n) часу та O(1) додаткової пам'яті
  2. BO(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
  3. CO(1) часу та O(1) додаткової пам'яті
  4. DO(n) часу та O(n) додаткової пам'яті
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 4, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 4
L =
6.Теорія графівСкладна
62162041175ABCDEF

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини F. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2.

початок: Fk = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2

Чому це відповідь

Жадібний метод бере 4 + 1 + 1 = 3 монети, але 3 + 3 — лише 2, тож для цієї системи монет жадібний метод не оптимальний; оптимальне динамічне програмування.

Відповідь

D · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Це NP-складна задача

Чому це відповідь

Найдовший простий шлях довжиною V − 1 — це гамільтонів шлях, пошук якого є NP-повною задачею; утім, на орієнтованих ациклічних графах задача розв'язна за лінійний час.

Відповідь

B · Це NP-складна задача
3.Структури даних

Відповідь: D · O(1)

Чому це відповідь

Елемент матриці в рядку u, стовпці v одразу показує, чи існує ребро; у списку суміжності може знадобитися переглянути сусідів u.

Відповідь

D · O(1)
4.Структури даних

Відповідь: B · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті

Чому це відповідь

Три вказівники (попередній, поточний, наступний) дають змогу обернути кожне посилання за один прохід, не виділяючи нових вузлів.

Відповідь

B · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
5.Теорія графів

Відповідь: L = 10

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

Відповідь

L = 10

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро CE

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. EF (7)
2. CE (4)
3. AC (2)
4. BE (5)
5. DF (11)

номер ребра 2

CE

Відповідь

ребро CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms