Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що означає, що задача має оптимальну підструктуру?

  1. AОптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
  2. BУсі підзадачі мають однаковий розмір
  3. CЗадача має рівно один оптимальний розв'язок, спільний для кожної підзадачі
  4. DЗадачу можна розв'язати за сталий час
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який алгоритм знаходить мінімальне кістякове дерево, багаторазово додаючи найдешевше ребро, яке не утворює циклу?

  1. AАлгоритм Флойда–Воршелла
  2. BАлгоритм Прима, що починає з однієї вершини
  3. CАлгоритм Дейкстри
  4. DАлгоритм Краскала
3.Структури данихСередня

Скільки триває пошук слова довжиною L у префіксному дереві (trie) з фіксованим алфавітом?

  1. AO(log n), де n — кількість слів
  2. BO(n), де n — кількість слів
  3. CO(L), незалежно від кількості збережених слів
  4. DO(L × n)
4.Структури данихСкладна

Дерево відрізків (segment tree) зазвичай використовують для:

  1. AВідповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)
  2. BСортування рядків за абеткою шляхом зберігання кожного префікса в окремому вузлі дерева
  3. CЗберігання ребер графа
  4. DРеалізації стека
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 5, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 33 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
279611148116ABCDEFG

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач

Чому це відповідь

Оптимальна підструктура потрібна, щоб і жадібні алгоритми, і динамічне програмування давали правильні відповіді.

Відповідь

A · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Алгоритм Краскала

Чому це відповідь

Алгоритм Краскала сортує ребра за вагою й додає їх, якщо вони з'єднують різні компоненти; алгоритм Прима нарощує одне дерево від початкової вершини.

Відповідь

D · Алгоритм Краскала
3.Структури даних

Відповідь: C · O(L), незалежно від кількості збережених слів

Чому це відповідь

Кожен символ обирає одну дитину, тож пошук займає L кроків незалежно від того, скільки слів містить trie.

Відповідь

C · O(L), незалежно від кількості збережених слів
4.Структури даних

Відповідь: A · Відповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)

Чому це відповідь

Дерево відрізків зберігає агрегати для проміжків, підтримуючи запити на діапазонах і точкові оновлення за час O(log n).

Відповідь

A · Відповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)
5.Теорія графів

Відповідь: L = 13

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 27 = 2(L + 8) − 2
L = 13

Відповідь

L = 13

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: B

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): C: 2
2. C (2): B: 9, E: 8, G: 13
3. E (8): D: 19
4. B (9): D: 18
5. G (13)
6. D (18): F: 32
7. F (32)

раунд 4

B

Відповідь

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms