Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Скільки рівнів має рекурсія сортування злиттям для масиву з n елементів?

  1. AБлизько log₂ n
  2. BБлизько n
  3. CБлизько √n
  4. DБлизько n / 2
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що треба зробити, щоб показати, що нова задача X є NP-складною?

  1. AПоказати, що X не має поліноміального алгоритму для малих вхідних даних
  2. BПоказати, що X можна перевірити за поліноміальний час
  3. CЗвести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час
  4. DЗвести X до відомої NP-складної задачі за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовує пошук у глибину (DFS, ітеративна версія)?

  1. AЛише геш-таблиця
  2. BКупа
  3. CСтек
  4. DЧерга
4.Структури данихСкладна

Яка структура дає змогу обчислити максимум кожного вікна розміру k у масиві за загальний час O(n)?

  1. AДек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
  2. BОднозв'язний список елементів вікна
  3. CМін-купа, перебудована для кожного вікна
  4. DВідсортований масив, що оновлюється зсувом
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K8? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K8
H =
6.Теорія графівСкладна
11139148102ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Близько log₂ n

Чому це відповідь

Ділення навпіл від n до 1 потребує близько log₂ n рівнів, і кожен рівень виконує O(n) роботи злиття, що дає O(n log n).

Відповідь

A · Близько log₂ n
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Звести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час

Чому це відповідь

Якщо відому складну задачу можна ефективно перетворити на X, то швидкий алгоритм для X розв'язав би й відому задачу.

Відповідь

C · Звести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: C · Стек

Чому це відповідь

DFS заглиблюється якомога далі, природно використовуючи стек (або стек викликів рекурсії); BFS використовує чергу.

Відповідь

C · Стек
4.Структури даних

Відповідь: A · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень

Чому це відповідь

Початок дека завжди є максимумом вікна; кожен індекс входить у дек і виходить із нього один раз, тож обсяг роботи лінійний.

Відповідь

A · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
5.Теорія графів

Відповідь: H = 2520

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Відповідь

H = 2520
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 13

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 1, C: 1
B (1): D: 14, E: 3
C (1)
E (3): F: 13
F (13)
D (14)

Найкоротший шлях

A → B → E → F
d(F) = 13

Відповідь

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms