Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  2. BЛогарифми завжди округлюють до цілих
  3. CУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
  4. DОснова має значення лише для малих n
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як класифікують задачу комівояжера?

  1. AВона нерозв'язна
  2. BВона належить до P, бо її розв'язує алгоритм Дейкстри, відвідуючи кожне місто один раз
  3. CВерсія розпізнавання належить до P, а оптимізаційна — NP-повна
  4. DВерсія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною
3.Структури данихСередня

Кільцевий буфер (ring buffer) зазвичай використовують для реалізації:

  1. AЧерги фіксованого розміру
  2. BБінарного дерева пошуку
  3. CГеш-функції
  4. DОбходу графа
4.Структури данихСкладна

Алгоритм Кана для топологічного сортування раз у раз видаляє вершини з напівстепенем входу 0. Яка структура зберігає ці вершини?

  1. AСтек усіх відвіданих ребер
  2. BМакс-купа, упорядкована за напівстепенем виходу
  3. CЧерга (або будь-яка колекція) вершин із напівстепенем входу 0
  4. DМатриця суміжності, що фіксує, які вершини вже видалено
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
886184645ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

A · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Версія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною

Чому це відповідь

«Чи існує маршрут довжиною щонайбільше k?» — NP-повна задача; пошук найкоротшого маршруту — NP-складна, бо вона щонайменше така ж складна.

Відповідь

D · Версія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною
3.Структури даних

Відповідь: A · Черги фіксованого розміру

Чому це відповідь

Кільцевий буфер використовує індекси head і tail, які циклічно переходять на початок, забезпечуючи enqueue і dequeue за O(1) у фіксованому обсязі пам'яті.

Відповідь

A · Черги фіксованого розміру
4.Структури даних

Відповідь: C · Черга (або будь-яка колекція) вершин із напівстепенем входу 0

Чому це відповідь

Готові вершини зберігаються в черзі; видалення однієї зменшує напівстепені входу її сусідів, і ті, що досягли 0, додаються, що дає час O(V + E).

Відповідь

C · Черга (або будь-яка колекція) вершин із напівстепенем входу 0
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 1, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Непарні вершини

B, E → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 15

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 8, C: 8
B (8): D: 9, E: 13
C (8)
D (9): F: 15
E (13)
F (15)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 15

Відповідь

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms