Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Алгоритм динамічного програмування Гелда–Карпа точно розв'язує задачу комівояжера. Який його час виконання для n міст?

  1. AO(2n²)
  2. BO(n!)
  3. CO(n² 2ⁿ)
  4. DO(n³)
3.Структури данихСередня

Як знайти мінімальний ключ у бінарному дереві пошуку?

  1. AВідвідати кожен листок і порівняти їх
  2. BІти від кореня правими дітьми, доки правої дитини не буде
  3. CПодивитися лише на корінь
  4. DІти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
4.Структури данихСкладна

Якій властивості має відповідати червоно-чорне дерево?

  1. AКорінь має бути червоним
  2. BКожен шлях від вузла до його листків-нащадків містить однакову кількість чорних вузлів
  3. CКожен вузол має бути червоним
  4. DКожен червоний вузол повинен мати червоних дітей, тож червоні вузли завжди утворюють неперервні ланцюги до листків
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K4? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K4
H =
6.Теорія графівСкладна
10121371014115ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(log n)

Чому це відповідь

Задача на кожному кроці зменшується вдвічі зі сталою роботою на крок, тож кроків приблизно log₂ n.

Відповідь

A · O(log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n² 2ⁿ)

Чому це відповідь

Станів близько n 2ⁿ, і кожен обчислюється за O(n); це експоненційно, але значно швидше, ніж перебирати всі (n − 1)! маршрутів.

Відповідь

C · O(n² 2ⁿ)
3.Структури даних

Відповідь: D · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде

Чому це відповідь

Крайній лівий вузол не має меншого ключа в дереві, тож він і є мінімумом; вартість пропорційна висоті.

Відповідь

D · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
4.Структури даних

Відповідь: B · Кожен шлях від вузла до його листків-нащадків містить однакову кількість чорних вузлів

Чому це відповідь

Правила червоно-чорного дерева: вузли червоні або чорні, корінь чорний, діти червоних вузлів чорні, а всі шляхи мають однакову чорну висоту, що утримує висоту ≤ 2 log₂(n + 1).

Відповідь

B · Кожен шлях від вузла до його листків-нащадків містить однакову кількість чорних вузлів
5.Теорія графів

Відповідь: H = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Відповідь

H = 3
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 26

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 10, C: 12
B (10): E: 15
C (12)
E (15): D: 25, F: 26
D (25)
F (26)

Найкоротший шлях

A → B → E → F
d(F) = 26

Відповідь

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms