Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що означає, що задача має оптимальну підструктуру?

  1. AОптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
  2. BУсі підзадачі мають однаковий розмір
  3. CЗадачу можна розв'язати за сталий час
  4. DЗадача має рівно один оптимальний розв'язок, спільний для кожної підзадачі
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що встановила теорема Кука–Левіна?

  1. AПроблема зупинки нерозв'язна
  2. BЗадача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною
  3. CКожну задачу з NP можна розв'язати за експоненційний час
  4. DP не дорівнює NP
3.Структури данихСередня

Як працює extract-min у бінарній мін-купі?

  1. AВидаляють корінь і зсувають усі елементи на одну позицію ліворуч
  2. BОстанній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
  3. CВидаляють останній елемент масиву
  4. DШукають новий мінімум серед усіх листків
4.Структури данихСкладна

Чому B-дерева використовують у базах даних і файлових системах?

  1. AВони не потребують перебалансування
  2. BВони зберігають невідсортовані дані
  3. CВисокий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска
  4. DВони займають менше пам'яті, ніж будь-який масив, тож увесь індекс завжди вміщується в оперативній пам'яті
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 13 вершин і 13 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 13|E| = 13
k =
6.Теорія графівСкладна
3281918114715ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач

Чому це відповідь

Оптимальна підструктура потрібна, щоб і жадібні алгоритми, і динамічне програмування давали правильні відповіді.

Відповідь

A · Оптимальний розв'язок можна побудувати з оптимальних розв'язків її підзадач
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Задача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною

Чому це відповідь

Кук і Левін незалежно показали, що кожна задача з NP зводиться до SAT за поліноміальний час, тож SAT стала першою відомою NP-повною задачею.

Відповідь

B · Задача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною
3.Структури даних

Відповідь: B · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз

Чому це відповідь

Останній елемент заповнює порожнє місце в корені й обмінюється з меншою дитиною, доки не виконується властивість купи, що займає O(log n).

Відповідь

B · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
4.Структури даних

Відповідь: C · Високий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска

Чому це відповідь

B-дерева зберігають багато ключів у вузлі, тому висота мала й на один пошук потрібно мало зчитувань блоків; B+ дерева також зв'язують листки для сканування діапазонів.

Відповідь

C · Високий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска
5.Теорія графів

Відповідь: k = 1

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

13 − 1 = 12

Ребра для вилучення

k = 13 − 12 = 1

Відповідь

k = 1
6.Теорія графів

Відповідь: W = 36

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

DF (1): взяти
AC (2): взяти
AB (3): взяти
GD (7): взяти
BD (8): взяти
GB (14): пропустити, замикає цикл
GE (15): взяти

Загальна вага

W = 1 + 2 + 3 + 7 + 8 + 15 = 36

Відповідь

W = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms