Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

У відсортованому масиві ви шукаєте два елементи із заданою сумою, рухаючи по одному вказівнику з кожного кінця всередину. Яка часова складність?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Проблема зупинки показує, що:

  1. AКожна програма врешті-решт зупиняється
  2. BСлід уникати циклів
  3. CЖоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона
  4. DДеякі програми працюють швидше на швидших комп'ютерах, тож зупинка залежить від апаратного забезпечення
3.Структури данихСередня

Вузол бінарного дерева пошуку має праве піддерево. Де розташований його наступник у симетричному порядку (in-order successor)?

  1. AКрайній лівий вузол його правого піддерева
  2. BЗавжди його права дитина
  3. CКрайній правий вузол його лівого піддерева
  4. DЗавжди його батько
4.Структури данихСкладна

У BST з коренем 50, лівим піддеревом 30 (діти 20, 40) і правим піддеревом 70 (діти 60, 80) корінь видаляють за допомогою наступника в симетричному порядку. Який ключ стає новим коренем?

  1. A60
  2. B40
  3. C80
  4. D70
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K8? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K8
H =
6.Теорія графівСкладна
11192061413ABCDE

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Якщо сума замала, лівий вказівник рухається праворуч, якщо завелика — правий рухається ліворуч, тож кроків щонайбільше n.

Відповідь

D · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Жоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона

Чому це відповідь

Тюрінг показав, що проблема зупинки нерозв'язна: припущення про існування розв'язувального алгоритму призводить до суперечності з програмою, яка робить протилежне.

Відповідь

C · Жоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона
3.Структури даних

Відповідь: A · Крайній лівий вузол його правого піддерева

Чому це відповідь

Усі більші ключі, близькі до вузла, розташовані в його правому піддереві, а найменший із них — це крайній лівий вузол там.

Відповідь

A · Крайній лівий вузол його правого піддерева
4.Структури даних

Відповідь: A · 60

Чому це відповідь

Крайній лівий вузол правого піддерева — 60, тож 60 замінює 50, а його попередня позиція видаляється; використання попередника дало б 40.

Відповідь

A · 60
5.Теорія графів

Відповідь: H = 2520

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Відповідь

H = 2520
6.Теорія графів

Відповідь: W = 29

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

DE (1): взяти
BE (3): взяти
BD (6): пропустити, замикає цикл
AB (11): взяти
CE (14): взяти

Загальна вага

W = 1 + 3 + 11 + 14 = 29

Відповідь

W = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms