Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) виконати роботу O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n √n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовує виконувана програма, щоб відстежувати активні виклики функцій та їхні локальні змінні?

  1. AГеш-таблицю функцій
  2. BБінарне дерево пошуку фреймів
  3. CСтек викликів
  4. DЧергу пам'яті купи
4.Структури данихСкладна

Що робить розширюване дерево (splay tree) після кожного звертання?

  1. AПоворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь
  2. BПеребудовує все дерево у збалансовану форму
  3. CПерефарбовує вузли на шляху пошуку
  4. DПереміщує вузол, до якого звернулися, у листок
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 17 вершин і 19 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 17|E| = 19
k =
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки маршрутів довжиною 2 ведуть від F до C? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n²)

Чому це відповідь

Сумарна робота становить близько n² / 2; це рекурентне співвідношення сортування вибором або швидкого сортування з найгіршим опорним елементом.

Відповідь

B · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n log n)

Чому це відповідь

Загалом n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, а гармонічне число Hn є Θ(log n).

Відповідь

D · O(n log n)
3.Структури даних

Відповідь: C · Стек викликів

Чому це відповідь

Кожен виклик заносить у стек фрейм, а кожне повернення виймає його, тому найновіший виклик завершується першим.

Відповідь

C · Стек викликів
4.Структури даних

Відповідь: A · Поворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь

Чому це відповідь

Splay-операція переміщує вузол, до якого звернулися, у корінь за допомогою поворотів; одна операція може коштувати O(n), але амортизована вартість — O(log n).

Відповідь

A · Поворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь
5.Теорія графів

Відповідь: k = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

17 − 1 = 16

Ребра для вилучення

k = 19 − 16 = 3

Відповідь

k = 3
6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Спільні сусіди

(M²)FC = 0·1 + 0·0 + 0·0 + 1·0 + 1·1 + 0·0 = 1

Відповідь

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms