Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність алгоритму Беллмана–Форда на графі з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E log V)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як алгоритм Беллмана–Форда виявляє цикл від'ємної ваги, досяжний із джерела?

  1. AВін підраховує цикли пошуком у глибину
  2. BВін двічі запускає алгоритм Дейкстри й порівнює два результати відстаней
  3. CПісля V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро
  4. DВін перевіряє, чи має якесь ребро від'ємну вагу
3.Структури данихСередня

Яка вартість вставлення елемента в середину масиву з n елементів?

  1. AO(log n) через бінарний пошук
  2. BO(1), бо індекс відомий
  3. CO(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
  4. DO(n²), бо кожен елемент переміщується n разів
4.Структури данихСкладна

Фільтр Блума може відповісти на запитання «чи належить цей елемент множині?»:

  1. AЗ можливими хибнонегативними, але без хибнопозитивних результатів
  2. BЗавжди точно
  3. CЗ можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів
  4. DЛише для чисел
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
612101541014154ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(G) найкоротшого шляху від A до G у зваженому графі.

початок: Aкінець: G
d(G) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(V × E)

Чому це відповідь

Кожен із V − 1 раундів релаксує всі E ребер, що дає O(VE); натомість він працює з від'ємними вагами ребер.

Відповідь

A · O(V × E)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Після V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро

Чому це відповідь

Усі справжні найкоротші відстані знаходяться за V − 1 раундів; якщо якесь ребро ще можна поліпшити, від'ємний цикл має існувати.

Відповідь

C · Після V − 1 раундів він перевіряє, чи можна ще релаксувати якесь ребро
3.Структури даних

Відповідь: C · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати

Чому це відповідь

Усі елементи після точки вставлення зсуваються на одну позицію праворуч, що займає час, пропорційний n.

Відповідь

C · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
4.Структури даних

Відповідь: C · З можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів

Чому це відповідь

Якщо будь-який біт для елемента дорівнює 0, елемента точно немає; якщо всі дорівнюють 1, він, імовірно, є. Фільтри Блума жертвують точністю заради дуже малого обсягу пам'яті.

Відповідь

C · З можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Непарні вершини

C, E → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: d(G) = 16

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 6, C: 12
B (6): D: 21, G: 16
C (12)
G (16): E: 20
E (20)
D (21): F: 25
F (25)

Найкоротший шлях

A → B → G
d(G) = 16

Відповідь

d(G) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms