Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність обчислення n-го числа Фібоначчі за допомогою таблиці знизу вгору?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що випливало б, якби хтось знайшов поліноміальний алгоритм для однієї NP-повної задачі?

  1. AКожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
  2. BУсі алгоритми з експоненційним часом негайно стали б працювати за лінійний час
  3. CПроблема зупинки стала б розв'язною
  4. DЛише ця одна задача перейшла б до P
3.Структури данихСередня

Яку умову збалансованості AVL-дерево підтримує в кожному вузлі?

  1. AКожен вузол пофарбовано в червоний або чорний колір
  2. BОбидва піддерева кожного вузла містять рівно однакову кількість вузлів
  3. CВисоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1
  4. DУсі листки розташовані рівно на однаковій глибині
4.Структури данихСкладна

Чому B-дерева використовують у базах даних і файлових системах?

  1. AВони займають менше пам'яті, ніж будь-який масив, тож увесь індекс завжди вміщується в оперативній пам'яті
  2. BВисокий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска
  3. CВони не потребують перебалансування
  4. DВони зберігають невідсортовані дані
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 9 вершин і 17 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 9|E| = 17
k =
6.Теорія графівСкладна
161619715172411ABCDEFG

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини A. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 3.

початок: Ak = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DF
  6. 6ребро EF
  7. 7ребро GB
  8. 8ребро GC
  9. 9ребро GD
  10. 10ребро GE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n)

Чому це відповідь

Заповнення таблиці від 0 до n потребує одного додавання на запис, тож робота лінійна, а не експоненційна.

Відповідь

A · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP

Чому це відповідь

Оскільки весь клас NP зводиться до будь-якої NP-повної задачі за поліноміальний час, швидкий алгоритм для однієї дає швидкий алгоритм для всіх.

Відповідь

A · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
3.Структури даних

Відповідь: C · Висоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1

Чому це відповідь

Коефіцієнт збалансованості (висота лівого − висота правого) має дорівнювати −1, 0 або 1; повороти відновлюють його після вставлень і видалень.

Відповідь

C · Висоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1
4.Структури даних

Відповідь: B · Високий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска

Чому це відповідь

B-дерева зберігають багато ключів у вузлі, тому висота мала й на один пошук потрібно мало зчитувань блоків; B+ дерева також зв'язують листки для сканування діапазонів.

Відповідь

B · Високий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска
5.Теорія графів

Відповідь: k = 9

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

9 − 1 = 8

Ребра для вилучення

k = 17 − 8 = 9

Відповідь

k = 9
6.Теорія графів

Відповідь: ребро GC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. AB (1)
2. AC (6)
3. GC (2)
4. GD (4)
5. DF (7)
6. GE (11)

номер ребра 3

GC

Відповідь

ребро GC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms