Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Маючи монети номіналом 1, 3 і 4 та суму 6, скільки монет використовує жадібний метод «спершу найбільша монета» порівняно з оптимумом?

  1. AЖадібний використовує 2 монети; оптимум — 2
  2. BЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 3
  3. CЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
  4. DЖадібний використовує 4 монети; оптимум — 3
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який час виконання алгоритму Дейкстри з бінарною купою на графі з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V³)
  3. CO((V + E) log V)
  4. DO(V + E)
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті займає матриця суміжності графа з V вершинами?

  1. AO(log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E)
  4. DO(V²)
4.Структури данихСкладна

Чому в геш-таблиці з відкритою адресацією видалення часто виконують за допомогою позначки «надгробок» (tombstone)?

  1. AВидалені ключі треба зберігати назавжди з міркувань безпеки, тож комірки ніколи не можна використати повторно
  2. BЦе робить таблицю відсортованою
  3. CНадгробки пришвидшують гешування
  4. DЗвільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, 4 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 5, 4 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
1942208310ABCDE

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини B. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2.

початок: Bk = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2

Чому це відповідь

Жадібний метод бере 4 + 1 + 1 = 3 монети, але 3 + 3 — лише 2, тож для цієї системи монет жадібний метод не оптимальний; оптимальне динамічне програмування.

Відповідь

C · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O((V + E) log V)

Чому це відповідь

Виконується V операцій вилучення мінімуму й до E операцій зменшення ключа, кожна O(log V); купа Фібоначчі поліпшує це до O(E + V log V).

Відповідь

C · O((V + E) log V)
3.Структури даних

Відповідь: D · O(V²)

Чому це відповідь

Матриця суміжності зберігає V × V елементів, що ефективно для щільних графів; списки суміжності займають O(V + E) і краще підходять для розріджених графів.

Відповідь

D · O(V²)
4.Структури даних

Відповідь: D · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів

Чому це відповідь

Якби видалена комірка стала порожньою, подальші пошуки могли б зупинитися зарано й пропустити ключі, розміщені далі в ланцюжку зондування.

Відповідь

D · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
5.Теорія графів

Відповідь: L = 22

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 48 = 2(L + 14) − 2
L = 22

Відповідь

L = 22

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро AC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. BC (2)
2. AC (4)
3. CE (8)
4. DE (3)

номер ребра 2

AC

Відповідь

ребро AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms