Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність швидкого сортування (quicksort) у найгіршому випадку?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Алгоритм динамічного програмування Гелда–Карпа точно розв'язує задачу комівояжера. Який його час виконання для n міст?

  1. AO(n² 2ⁿ)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n!)
  4. DO(n³)
3.Структури данихСередня

Який абстрактний тип даних використовує алгоритм Дейкстри, щоб обрати наступну вершину для обробки?

  1. AМножину без упорядкування
  2. BЧергу FIFO
  3. CМін-чергу з пріоритетом
  4. DСтек
4.Структури данихСкладна

Яка структура даних забезпечує кеш LRU (least recently used) з операціями get і put за O(1)?

  1. AЛише стек
  2. BОдин відсортований масив
  3. CЛише бінарне дерево пошуку
  4. DГеш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
1313941121056ABCDEFG

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n²)

Чому це відповідь

За постійно невдалого вибору опорних елементів (наприклад, уже відсортовані дані й перший елемент як опорний) розбиття незбалансовані, що дає O(n²). У середньому випадку складність становить O(n log n).

Відповідь

A · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n² 2ⁿ)

Чому це відповідь

Станів близько n 2ⁿ, і кожен обчислюється за O(n); це експоненційно, але значно швидше, ніж перебирати всі (n − 1)! маршрутів.

Відповідь

A · O(n² 2ⁿ)
3.Структури даних

Відповідь: C · Мін-чергу з пріоритетом

Чому це відповідь

Мін-черга з пріоритетом, зазвичай бінарна купа, ефективно повертає невідвідану вершину з найменшою відстанню.

Відповідь

C · Мін-чергу з пріоритетом
4.Структури даних

Відповідь: D · Геш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком

Чому це відповідь

Геш-мапа знаходить вузли за O(1), а двозв'язний список переміщує використані елементи на початок і видаляє з кінця за O(1).

Відповідь

D · Геш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: D

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 13
2. B (13): C: 26, D: 22, G: 15
3. G (15): C: 25, D: 20, E: 21
4. D (20)
5. E (21): F: 32
6. C (25)
7. F (32)

раунд 4

D

Відповідь

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms