Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що вимірює амортизований аналіз?

  1. AВартість однієї найдорожчої операції будь-де в послідовності
  2. BВартість алгоритму на найкращих вхідних даних
  3. CОчікувану вартість на випадкових вхідних даних
  4. DСередню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке визначення класу P правильне?

  1. AЗадачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
  2. BЗадачі, розв'язки яких можна перевірити, але ніколи не можна знайти за поліноміальний час
  3. CЗадачі, що потребують експоненційного часу на будь-якому комп'ютері
  4. DЗадачі, які можна розв'язати паралельно
3.Структури данихСередня

Симетричний обхід (in-order) бінарного дерева пошуку відвідує ключі:

  1. AЗавжди в порядку спадання
  2. BПо рівнях
  3. CУ порядку вставлення
  4. DУ порядку зростання (відсортовано)
4.Структури данихСкладна

Яку гарантію щодо висоти дерева з n ключами дають правила червоно-чорного дерева?

  1. AВисота щонайбільше n / 2
  2. BВисота рівно log2 n
  3. CВисота щонайбільше log2 n + 1
  4. DВисота щонайбільше 2 log2(n + 1)
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K8? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K8
H =
6.Теорія графівСкладна
2141362914211ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Середню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку

Чому це відповідь

Амортизований аналіз розподіляє вартість рідкісних дорогих операцій на багато дешевих, даючи гарантоване середнє для будь-якої послідовності.

Відповідь

D · Середню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час

Чому це відповідь

P містить задачі розпізнавання з детермінованим поліноміальним алгоритмом, як-от перевірка зв'язності графа.

Відповідь

A · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: D · У порядку зростання (відсортовано)

Чому це відповідь

Відвідування лівого піддерева, потім вузла, потім правого піддерева виводить ключі BST у відсортованому порядку.

Відповідь

D · У порядку зростання (відсортовано)
4.Структури даних

Відповідь: D · Висота щонайбільше 2 log2(n + 1)

Чому це відповідь

Кожен шлях має однакову кількість чорних вузлів, а червоні вузли не можуть бути сусідніми, тож найдовший шлях щонайбільше вдвічі довший за найкоротший, що дає висоту O(log n).

Відповідь

D · Висота щонайбільше 2 log2(n + 1)
5.Теорія графів

Відповідь: H = 2520

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Відповідь

H = 2520
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 24

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 2
B (2): C: 16, D: 15, G: 4
G (4): C: 15
C (15): E: 21
D (15): E: 17, F: 24
E (17)
F (24)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 24

Відповідь

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms