Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яке жадібне правило в задачі про вибір заявок (activity selection) завжди дає максимальну кількість заявок, що не перекриваються?

  1. AСпершу обрати найкоротшу заявку
  2. BСпершу обрати заявку з найменшою кількістю перекриттів, а потім повторити із сумісними
  3. CОбрати заявку, що закінчується найраніше, а потім повторити із сумісними
  4. DОбрати заявку, що починається найраніше
2.Алгоритми та складністьСкладна

Проблема зупинки показує, що:

  1. AСлід уникати циклів
  2. BКожна програма врешті-решт зупиняється
  3. CЖоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона
  4. DДеякі програми працюють швидше на швидших комп'ютерах, тож зупинка залежить від апаратного забезпечення
3.Структури данихСередня

Як працює extract-min у бінарній мін-купі?

  1. AШукають новий мінімум серед усіх листків
  2. BОстанній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
  3. CВидаляють останній елемент масиву
  4. DВидаляють корінь і зсувають усі елементи на одну позицію ліворуч
4.Структури данихСкладна

Якого правила мають дотримуватися геш і рівність, щоб геш-таблиця працювала правильно?

  1. AРізні ключі мусять мати різні геш-значення
  2. BРівні геш-значення означають рівні ключі
  3. CРівні ключі мусять мати рівні геш-значення
  4. DГеш-значення мусять бути простими числами
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
385311624ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Обрати заявку, що закінчується найраніше, а потім повторити із сумісними

Чому це відповідь

Оптимальність вибору за найранішим часом завершення можна довести аргументом обміну; для інших правил існують контрприклади.

Відповідь

C · Обрати заявку, що закінчується найраніше, а потім повторити із сумісними
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Жоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона

Чому це відповідь

Тюрінг показав, що проблема зупинки нерозв'язна: припущення про існування розв'язувального алгоритму призводить до суперечності з програмою, яка робить протилежне.

Відповідь

C · Жоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона
3.Структури даних

Відповідь: B · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз

Чому це відповідь

Останній елемент заповнює порожнє місце в корені й обмінюється з меншою дитиною, доки не виконується властивість купи, що займає O(log n).

Відповідь

B · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
4.Структури даних

Відповідь: C · Рівні ключі мусять мати рівні геш-значення

Чому це відповідь

Якби два рівні ключі мали різні геші, вони зберігалися б у різних кошиках і пошук не вдавався б; нерівні ключі можуть мати спільний геш.

Відповідь

C · Рівні ключі мусять мати рівні геш-значення
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 9

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 3, C: 8
B (3): D: 6, E: 7
D (6)
E (7): F: 9
C (8)
F (9)

Найкоротший шлях

A → B → E → F
d(F) = 9

Відповідь

d(F) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms