Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність стандартного алгоритму динамічного програмування для найдовшої спільної підпослідовності рядків довжиною m і n?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(m + n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке визначення класу P правильне?

  1. AЗадачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
  2. BЗадачі, розв'язки яких можна перевірити, але ніколи не можна знайти за поліноміальний час
  3. CЗадачі, що потребують експоненційного часу на будь-якому комп'ютері
  4. DЗадачі, які можна розв'язати паралельно
3.Структури данихСередня

Яка часова складність пошуку ключа в збалансованому бінарному дереві пошуку?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
4.Структури данихСкладна

Яка властивість підтримує кожне B-дерево ідеально збалансованим?

  1. AКожен вузол зберігає один ключ
  2. BКожен вузол має рівно двох дітей
  3. CКлючі зберігаються лише в корені
  4. DУсі листки розташовані на однаковій глибині
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K6? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K6
H =
6.Теорія графівСкладна
47115104126111110ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(C) найкоротшого шляху від A до C у зваженому графі.

початок: Aкінець: C
d(C) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(mn)

Чому це відповідь

Таблиця має (m + 1)(n + 1) клітинок, і кожна обчислюється за O(1) із сусідніх.

Відповідь

B · O(mn)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час

Чому це відповідь

P містить задачі розпізнавання з детермінованим поліноміальним алгоритмом, як-от перевірка зв'язності графа.

Відповідь

A · Задачі розпізнавання, розв'язні детермінованим алгоритмом за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: B · O(log n)

Чому це відповідь

Збалансоване дерево має висоту близько log₂ n, тому пошук проходить одним шляхом від кореня до листка.

Відповідь

B · O(log n)
4.Структури даних

Відповідь: D · Усі листки розташовані на однаковій глибині

Чому це відповідь

Заповнені вузли розщеплюються вгору, а дерево стає вищим лише тоді, коли розщеплюється корінь, тож усі листки завжди залишаються на одному рівні.

Відповідь

D · Усі листки розташовані на однаковій глибині
5.Теорія графів

Відповідь: H = 60

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Відповідь

H = 60
6.Теорія графів

Відповідь: d(C) = 5

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 4, C: 7
B (4): C: 5, D: 19, G: 15
C (5): E: 15
E (15): F: 21
G (15)
D (19)
F (21)

Найкоротший шлях

A → B → C
d(C) = 5

Відповідь

d(C) = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms