Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Функція виконує один цикл із n ітерацій, а потім окремо ще один цикл із n ітерацій. Яка її часова складність?

AO(log n)
BO(n)
CO(2ⁿ)
DO(n²)

2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність побудови бінарної купи з n невідсортованих елементів висхідним методом (bottom-up)?

AO(n²)
BO(log n)
CO(n log n)
DO(n)

3.Структури данихСередня

Яке призначення сторожового (фіктивного, sentinel) вузла у зв'язному списку?

AЗробити список відсортованим
BСпростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
CЗберігати кількість елементів
DНе дати списку зростати понад фіксовану максимальну кількість вузлів

4.Структури данихСкладна

Яку гарантію щодо висоти дерева з n ключами дають правила червоно-чорного дерева?

AВисота рівно log₂ n
BВисота щонайбільше n / 2
CВисота щонайбільше 2 log₂(n + 1)
DВисота щонайбільше log₂ n + 1

5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 14 вершин і 19 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 14|E| = 19

k =

6.Теорія графівСкладна

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F

d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n)

Чому це відповідь

n + n = 2n, а сталі множники відкидаються, тож функція є O(n).

Відповідь

B · O(n)

2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n)

Чому це відповідь

Сума витрат на просіювання вниз (sift-down) за всіма рівнями утворює збіжний ряд, тому побудова купи (heapify) виконується за лінійний час.

Відповідь

D · O(n)

3.Структури даних

Відповідь: B · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості

Чому це відповідь

Зі сторожовим вузлом кожен справжній вузол має попередника, тож вставлення чи видалення на початку не потребує особливої обробки.

Відповідь

B · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості

4.Структури даних

Відповідь: C · Висота щонайбільше 2 log₂(n + 1)

Чому це відповідь

Кожен шлях має однакову кількість чорних вузлів, а червоні вузли не можуть бути сусідніми, тож найдовший шлях щонайбільше вдвічі довший за найкоротший, що дає висоту O(log n).

Відповідь

C · Висота щонайбільше 2 log₂(n + 1)

5.Теорія графів

Відповідь: k = 6

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

14 − 1 = 13

Ребра для вилучення

k = 19 − 13 = 6

Відповідь

k = 6

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 36

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 10, C: 14

B (10): C: 12, G: 23

C (12): E: 22, G: 20

G (20): D: 24

E (22): F: 36

D (24)

F (36)

Найкоротший шлях

A → B → C → E → F

d(F) = 36

Відповідь

d(F) = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms