Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Ви один раз сортуєте масив із n елементів, а потім відповідаєте на k запитів про належність бінарним пошуком. Яка загальна вартість?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про P і NP є правильним?

  1. AДоведено, що P ≠ NP
  2. BNP означає «неполіноміальний» (not polynomial)
  3. CКожна задача з P також належить до NP
  4. DРозв'язки задач NP неможливо швидко перевірити
3.Структури данихСередня

Симетричний обхід (in-order) бінарного дерева пошуку відвідує ключі:

  1. AУ порядку зростання (відсортовано)
  2. BЗавжди в порядку спадання
  3. CУ порядку вставлення
  4. DПо рівнях
4.Структури данихСкладна

Які операції підтримує дерево Фенвіка (binary indexed tree) над масивом із n чисел за O(log n)?

  1. AЗапити префіксних сум і оновлення окремих елементів
  2. BСортування масиву та бінарний пошук
  3. CВставлення елементів у будь-яку позицію
  4. DЗнаходження медіани за O(1)
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 43 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
141611412151411ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n log n + k log n)

Чому це відповідь

Сортування коштує O(n log n), а кожен запит — O(log n); за великого k це краще, ніж k лінійних переглядів (O(nk)).

Відповідь

A · O(n log n + k log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Кожна задача з P також належить до NP

Чому це відповідь

P ⊆ NP: якщо Ви можете швидко розв'язати задачу, Ви можете й швидко перевірити розв'язок. Питання, чи P = NP, досі відкрите.

Відповідь

C · Кожна задача з P також належить до NP
3.Структури даних

Відповідь: A · У порядку зростання (відсортовано)

Чому це відповідь

Відвідування лівого піддерева, потім вузла, потім правого піддерева виводить ключі BST у відсортованому порядку.

Відповідь

A · У порядку зростання (відсортовано)
4.Структури даних

Відповідь: A · Запити префіксних сум і оновлення окремих елементів

Чому це відповідь

Дерево Фенвіка зберігає часткові суми на діапазонах, визначених молодшими бітами кожного індексу, тож і префіксні суми, і точкові оновлення займають O(log n).

Відповідь

A · Запити префіксних сум і оновлення окремих елементів
5.Теорія графів

Відповідь: L = 8

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 18 = 2(L + 6) − 2
L = 8

Відповідь

L = 8

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 20

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 14, C: 1
C (1): B: 7
B (7): D: 8, G: 12
D (8): E: 22, F: 20
G (12)
F (20): E: 21
E (21)

Найкоротший шлях

A → C → B → D → F
d(F) = 20

Відповідь

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms