Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що обчислює алгоритм Флойда–Воршелла і як швидко?

  1. AНайкоротші шляхи від однієї початкової вершини до всіх інших за O(V + E)
  2. BТопологічний порядок за O(V²)
  3. CНайкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)
  4. DМінімальне кістякове дерево за O(E log V)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка оцінка для log(n!) правильна?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(log n)
3.Структури данихСередня

Як знайти мінімальний ключ у бінарному дереві пошуку?

  1. AВідвідати кожен листок і порівняти їх
  2. BІти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
  3. CПодивитися лише на корінь
  4. DІти від кореня правими дітьми, доки правої дитини не буде
4.Структури данихСкладна

Яка структура дає змогу обчислити максимум кожного вікна розміру k у масиві за загальний час O(n)?

  1. AМін-купа, перебудована для кожного вікна
  2. BВідсортований масив, що оновлюється зсувом
  3. CДек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
  4. DОднозв'язний список елементів вікна
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 10 вершин і 17 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 10|E| = 17
k =
6.Теорія графівСкладна
2019161312141106ABCDEF

Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини F. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2.

початок: Fk = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро DF
  8. 8ребро EF
  9. 9ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Найкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)

Чому це відповідь

Флойд–Воршелл — алгоритм динамічного програмування, що по черзі дозволяє кожну вершину як проміжну, витрачаючи O(V³) часу.

Відповідь

C · Найкоротші шляхи між усіма парами вершин за O(V³)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Θ(n log n)

Чому це відповідь

log(n!) ≤ n log n, а n / 2 найбільших множників дають log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); саме тому сортування порівняннями потребує Ω(n log n).

Відповідь

A · Θ(n log n)
3.Структури даних

Відповідь: B · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде

Чому це відповідь

Крайній лівий вузол не має меншого ключа в дереві, тож він і є мінімумом; вартість пропорційна висоті.

Відповідь

B · Іти від кореня лівими дітьми, доки лівої дитини не буде
4.Структури даних

Відповідь: C · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень

Чому це відповідь

Початок дека завжди є максимумом вікна; кожен індекс входить у дек і виходить із нього один раз, тож обсяг роботи лінійний.

Відповідь

C · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
5.Теорія графів

Відповідь: k = 8

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

10 − 1 = 9

Ребра для вилучення

k = 17 − 9 = 8

Відповідь

k = 8
6.Теорія графів

Відповідь: ребро EF

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Пріма

1. DF (1)
2. EF (10)
3. BE (6)
4. CE (12)
5. AC (19)

номер ребра 2

EF

Відповідь

ребро EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms