Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому бінарний пошук не дає часу O(log n) на однозв'язному списку?

  1. AПорівняння вузлів зв'язного списку повільніші
  2. BЩоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом
  3. CБінарному пошуку потрібно щонайменше вдвічі більше пам'яті
  4. DЗв'язні списки неможливо сортувати
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовує пошук у глибину (DFS, ітеративна версія)?

  1. AСтек
  2. BЧерга
  3. CЛише геш-таблиця
  4. DКупа
4.Структури данихСкладна

Вузол AVL-дерева незбалансований, бо праве піддерево його лівої дитини стало надто високим (випадок «ліво-право»). Яке виправлення застосовують?

  1. AОдинарний правий поворот у вузлі
  2. BЛівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі
  3. CПравий поворот у лівій дитині, потім лівий поворот у вузлі
  4. DОдинарний лівий поворот у вузлі
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 11 вершин і 22 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 11|E| = 22
k =
6.Теорія графівСкладна
134711213410ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 3; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(2ⁿ)

Чому це відповідь

Кількість викликів подвоюється на кожному рівні, а рівнів n, тож загалом виходить близько 2ⁿ, як у задачі про Ханойські вежі.

Відповідь

C · O(2ⁿ)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Щоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом

Чому це відповідь

Бінарний пошук потребує доступу до середини за O(1); у зв'язному списку прохід туди коштує лінійного часу, тож загалом виходить O(n).

Відповідь

B · Щоб дістатися середнього елемента, потрібно O(n) кроків, бо немає прямого доступу за індексом
3.Структури даних

Відповідь: A · Стек

Чому це відповідь

DFS заглиблюється якомога далі, природно використовуючи стек (або стек викликів рекурсії); BFS використовує чергу.

Відповідь

A · Стек
4.Структури даних

Відповідь: B · Лівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі

Чому це відповідь

Перший поворот перетворює випадок «ліво-право» на випадок «ліво-ліво», який потім виправляє правий поворот у незбалансованому вузлі.

Відповідь

B · Лівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі
5.Теорія графів

Відповідь: k = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

11 − 1 = 10

Ребра для вилучення

k = 22 − 10 = 12

Відповідь

k = 12
6.Теорія графів

Відповідь: E

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 13, C: 4
2. C (4): E: 5
3. E (5): D: 17, F: 9
4. F (9)
5. B (13)
6. D (17)

раунд 3

E

Відповідь

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms