Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність: for i = 1 to n: for j = 1 to i: виконати роботу O(1)?

  1. AO(n³)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який алгоритм знаходить мінімальне кістякове дерево, багаторазово додаючи найдешевше ребро, яке не утворює циклу?

  1. AАлгоритм Дейкстри
  2. BАлгоритм Краскала
  3. CАлгоритм Прима, що починає з однієї вершини
  4. DАлгоритм Флойда–Воршелла
3.Структури данихСередня

Який метод розв'язання колізій зберігає ключі, що конфліктують, у списку в тому самому кошику?

  1. AКвадратичне зондування
  2. BПодвійне гешування
  3. CМетод ланцюжків (separate chaining)
  4. DЛінійне зондування
4.Структури данихСкладна

У BST з коренем 50, лівим піддеревом 30 (діти 20, 40) і правим піддеревом 70 (діти 60, 80) корінь видаляють за допомогою наступника в симетричному порядку. Який ключ стає новим коренем?

  1. A80
  2. B60
  3. C40
  4. D70
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
14157913482ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 3; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(n²)

Чому це відповідь

Тіло внутрішнього циклу виконується загалом n(n + 1) / 2 разів, що все одно квадратично.

Відповідь

C · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Алгоритм Краскала

Чому це відповідь

Алгоритм Краскала сортує ребра за вагою й додає їх, якщо вони з'єднують різні компоненти; алгоритм Прима нарощує одне дерево від початкової вершини.

Відповідь

B · Алгоритм Краскала
3.Структури даних

Відповідь: C · Метод ланцюжків (separate chaining)

Чому це відповідь

Метод ланцюжків зберігає для кожного кошика зв'язний список (або іншу структуру); відкрита адресація шукає інше вільне місце в самій таблиці.

Відповідь

C · Метод ланцюжків (separate chaining)
4.Структури даних

Відповідь: B · 60

Чому це відповідь

Крайній лівий вузол правого піддерева — 60, тож 60 замінює 50, а його попередня позиція видаляється; використання попередника дало б 40.

Відповідь

B · 60
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: C

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 14, C: 15
2. B (14): D: 21, E: 16
3. C (15)
4. E (16): F: 24
5. D (21)
6. F (24)

раунд 3

C

Відповідь

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms