Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Динамічне програмування корисне, коли задача має:

  1. AЖодних підзадач, тож її можна розв'язати за один крок
  2. BОдин цикл
  3. CПерекривні підзадачі та оптимальну підструктуру
  4. DЛише випадкові вхідні дані
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n²)
3.Структури данихСередня

Яку умову збалансованості AVL-дерево підтримує в кожному вузлі?

  1. AУсі листки розташовані рівно на однаковій глибині
  2. BКожен вузол пофарбовано в червоний або чорний колір
  3. CВисоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1
  4. DОбидва піддерева кожного вузла містять рівно однакову кількість вузлів
4.Структури данихСкладна

Які операції підтримує дерево Фенвіка (binary indexed tree) над масивом із n чисел за O(log n)?

  1. AСортування масиву та бінарний пошук
  2. BЗапити префіксних сум і оновлення окремих елементів
  3. CВставлення елементів у будь-яку позицію
  4. DЗнаходження медіани за O(1)
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
611798899ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Перекривні підзадачі та оптимальну підструктуру

Чому це відповідь

Збереження результатів перекривних підзадач (мемоізація або табуляція) дає змогу уникнути повторної роботи й перетворює експоненційні алгоритми на поліноміальні.

Відповідь

C · Перекривні підзадачі та оптимальну підструктуру
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Θ(n log² n)

Чому це відповідь

Рівень k виконує близько n log(n / 2ᵏ) роботи, а підсумовування за log n рівнями дає Θ(n log² n) — розширений другий випадок основної теореми.

Відповідь

C · Θ(n log² n)
3.Структури даних

Відповідь: C · Висоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1

Чому це відповідь

Коефіцієнт збалансованості (висота лівого − висота правого) має дорівнювати −1, 0 або 1; повороти відновлюють його після вставлень і видалень.

Відповідь

C · Висоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1
4.Структури даних

Відповідь: B · Запити префіксних сум і оновлення окремих елементів

Чому це відповідь

Дерево Фенвіка зберігає часткові суми на діапазонах, визначених молодшими бітами кожного індексу, тож і префіксні суми, і точкові оновлення займають O(log n).

Відповідь

B · Запити префіксних сум і оновлення окремих елементів
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Непарні вершини

B, C, D, F → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 24

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 6, C: 11
B (6): D: 15, E: 15
C (11)
D (15)
E (15): F: 24
F (24)

Найкоротший шлях

A → B → E → F
d(F) = 24

Відповідь

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms